几类非线性偏微分方程的李群分析和不变子空间

作     者：李志强 

作者单位：聊城大学 

学位级别：硕士

导师姓名：刘汉泽

授予年度：2019年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：李群分析 非线性偏微分方程 精确解 守恒律 不变子空间 

摘      要：本文对RLW-KdV方程、变系数五阶色散方程和Kudryashov-Sinelshchikov方程进行分析研究.首先,通过李群分析得到第一个方程单参数变换群、群不变解、向量场、伴随方程和守恒律.其次,利用李群分析对第二个方程的变系数进行分类讨论,获到具体的约化方程,求出方程的显式精确解和守恒律.最后,第三个方程运用不变子空间方法来构造几种不同形式精确解.除此之外,还通过图像更加清晰的刻画方程的精确解.第一部分,运用经典李群理论对非线性RLW-KdV方程进行了分析研究,获得方程的向量场,求出方程的不变量,通过群不变解约化得到常微分方程.并且运用e-φ(x))展开法和Lambert W函数法可以求得原方程的指数函数解、有理函数解、三角函数解和双曲函数解.最后,我们通过李群分析得到的李对称求出非线性RLW-KdV方程的伴随方程、拉格朗日量和守恒律.第二部分,利用经典李群理论对变系数五阶色散方程进行了研究分析,获得待定系数函数和变系数必须满足的关系式,对变系数的取法根据对称约束条件进行分类,得到所有的向量场和特定的变系数五阶色散方程,利用不变量可以获得约化方程.利用指数函数法、e-φ(x))展开法和幂级数展开法得到方程的精确解.最后,给出了变系数五阶色散方程的伴随方程、守恒律.第三部分,利用不变子空间方法对Kudryashov-Sinelshchikov方程求精确解.主要思想是通过求解线性常微分方程得到的子空间,构造非线性偏微分方程(群)所允许的不变子空间.研究得到了Kudryashov-Sinelshchikov方程中非线性微分算子所允许的不变子空间.通过子空间的基函数可以构造多项式函数、指数函数和三角函数形式的精确解,并通过图像描绘出方程的精确解.