一类分数阶常微分方程初值问题的新预估校正算法

作     者：洪梅 

作者单位：哈尔滨工业大学 

学位级别：硕士

导师姓名：张新明

授予年度：2017年

学科分类：07[理学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 

主      题：分数阶常微分方程 显式方法 梯形方法 预估校正法 

摘      要：分数阶微分方程是指微分阶数是任意实数,甚至可以是复数的方程。分数阶微分算子与整数阶微分算子不同,具有非局部性,非常适用于描述现实世界中具有记忆以及遗传性质的材料,因此它在工程、物理、金融、水文等领域发挥越来越重要的作用。对于分数阶微分方程数值算法的研究已经成为当前相关领域的研究热点,但是还存在很多待解决的问题和难点。目前,在学者们的共同努力下,分数阶微分方程的数值计算已经得到不少研究结果。这些研究成果大体可以划分为两种类别。一类是从分数阶微积分的定义入手,直接发展出来的方法。这些数值算法因为是在分数阶微积分的定义基础上进行的研究,所以计算格式较为简便。另一类是借鉴于整数阶微分方程的数值算法,间接发展出来的对于分数阶微积分也同样适用的方法。这些数值算法虽然可以使数值结果达到比较高的精度,但是计算格式往往非常复杂。本文将从分数阶微积分的基本定义入手,在分数阶微分方程的显式算法和梯形算法的基础上,解决Caputo定义下的分数阶常微分方程的初值问题,即将显式算法中的Adams-Bashforth技巧和梯形算法中的Adams-Moulton技巧同时运用于数值计算的过程中,具体思路是:用算法格式简便的Adams-Bashforth技巧求出预估值,再用计算精度高的Adams-Moulton技巧对预估值进行校正,使得求解出的数值解更接近于初值问题的精确解。在这个研究过程中,本文推导出了求解一类分数阶常微分方程初值问题的新预估校正方法,并给出了这种新预估校正方法的算法格式。在分析这种新预估校正方法的局部截断误差和整体截断误差的过程中,本文推导出了这种新算法的收敛阶数,进而证明了这种新方法在理论上的可行性,同时验证出这种新方法的收敛阶数高于原有的显式法,也为后续数值实验的模拟提供了必要的前提条件。在此基础上,通过数值实验结果和数据的比对验证出了这种新的预估校正法在解决实际问题中的可行性,由此说明了这种新的预估校正方法是求解一类分数阶常微分方程初值问题的有效算法。