蕴涵算子函数方程I（x，y）=I（x，I（x，y））在有限链上的解

作     者：李诚 

作者单位：山东大学 

学位级别：硕士

导师姓名：刘华文

授予年度：2012年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：蕴涵 函数方程 有限链 三角模 三角余模 

摘      要：模糊逻辑是经典逻辑的推广。经典逻辑的赋值集为两点集{0,1},而模糊逻辑的赋值集为连续区间[0,1]。在经典逻辑中,命题间的关系和运算由逻辑连接词表示。常用的逻辑连接词有合取、析取、蕴涵和补。在模糊逻辑中,合取、析取、蕴涵和补分别被推广为三角模、三角余模、模糊蕴涵和模糊补。 近年来,关于模糊逻辑连接词所满足的函数方程的研究成为模糊逻辑中的一个热点问题。一方面,对于此类方程的求解有助于人们探明经典逻辑中的重言式是否在模糊逻辑中成立,以及成立的条件,从而帮助人们区分经典逻辑与模糊逻辑性质上的区别。另一方面,关于模糊逻辑连接词函数方程的求解与模糊系统中推理算法的复杂性及规则库约简有密切关系。 模糊逻辑的赋值区间[0,1]在决策推理中有不理想的一面：数字的精度超出了决策者认知的精度。由于决策者只能掌握有限的几个评价尺度,因此在有限链上展开的逻辑推理得到人们的特别关注。 在本文中我们求解有限链上的关于蕴涵算子的函数方程：I（x,y）=I（x,I（x,y））,其中I为蕴涵（算子）,x和y为有限链中的元素。这个方程来自于经典逻辑中的一个重要重言式：p→（p→q）=p→q。此等式也叫做收缩律,是一个特殊的迭代型布尔律。在有限链上,方程I（x,y）=I（x,,（x,y））不再恒成立。本文将研究方程I（x,y）=I（x,I（x,y））在有限链上成立的条件。当y=0且I（x,y）=S（N（x）,y）时,方程I（x,y）I（x,I（x,y））成为I（x,N（x））=N（x）,这是用包含度来构造模糊熵的必要条件,因此方程I（x,y）=I（x,I（x,y））的求解有重要价值。 本文的主要工作如下： 第1章和第2章叙述有限链上关于逻辑连接词的函数方程的研究背景和研究意义,并回顾常见的模糊逻辑连接词三角模、三角余模、模糊补以及模糊蕴涵。 第3章首先介绍有限链上的逻辑连接词。它们是对应的模糊逻辑连接词在有限链上的限制,但其性质与分类表示与模糊逻辑连接词存在区别。接着分别讨论当I为有限链上的S-蕴涵、R-蕴涵、QL-算子及QL-蕴涵时方程I（x,y）=I（x,,（x,y））的解。其中,当I为QL-算子时,根据涉及的三角模T以及三角余模S的不同种类,将I分为9类进行讨论。为了保证信息聚合的合理性,我们将生成这些蕴涵（算子）的逻辑算子限制在光滑情形。在求解方程时,我们考虑一般的有限链L={x0x1…xmxm+1}。在实际应用中,有限链常含有5个、7个或9个等尺度,因此在例子中,我们就含7个尺度的有限链给出满足方程的蕴涵（算子）的真值表。本章完全刻画了当有限链上的三角模、三角余模以及补光滑时,生成的满足方程I（x,y）=I（x,I（x,y））的S-蕴涵、R-蕴涵、QL-算子及QL-蕴涵的特征。 第4章将方程I（x,y）=I（x,I（x,y））在[0,1]上的解与其在有限链上的解进行比较并给出结论。