辅助方程法与某些非线性发展方程的相互作用解

作     者：杨淑焕 

作者单位：山东师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：陈怀堂;王江鲁

授予年度：2014年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：辅助方程法 非线性发展方程 双辅助方程法 相互作用解 

摘      要：孤立子在非线性科学研究领域里占有很重要的地位,在研究它的过程中出现了一大批的非线性发展方程.为了能更深入的了解和研究这些非线性发展方程的物理意义,最为重要的一步就是获得大量的精确解. 由于非线性发展方程本身的性质,目前为止还没有一个统一的方法来求得非线性发展方程的所有解.所采用的方法几乎都是构造法,所得到的精确解都是非线性发展方程的特解.人们在这方面做了大量的研究工作,但是常常得到的是单孤子解、双周期解和多孤子解,却很少有人求得单孤子解与双周期解之间的相互作用解(同时包含有理函数、三角函数、双曲函数和雅克比椭圆函数).求非线性发展方程的相互作用解能促进我们对非线性世界有更深入、更全面的了解.在所有求解非线性发展方程的方法之中,辅助方程法是一种比较直接而且简单有效的代数方法,同时也能获得非线性发展方程的相对丰富的相互作用解.本文主要是利用符号计算系统和辅助方程法来求解非线性发展方程,获得它们的包含不同种类函数的相互作用解. 第一章主要叙述了孤立子的研究背景及意义、求解非线性发展方程的方法以及本文的主要工作内容. 第二章利用双辅助方程法求得了KdV方程和mKdV方程的包含不同种类函数(三角函数与椭圆函数、双曲函数与椭圆函数)的新的相互作用解. 第三章对双辅助方程法做了进一步的改进,并应用到非线性发展方程中,求得了Kaolomtsev-Petviashvili方程和Fisher方程的新的相互作用解(包含三角函数与双曲函数的变系数非行波解). 第四章运用常微分方程的知识求得了一般形式的Riccati方程的一些新解,从而获得了KdV方程和Burgers方程的新的精确解;给出了特殊Riccati方程的新解,并获得了mKdV-Burgers方程的新的相互作用解.