Sobolev方程的扩展混合有限元数值模拟

作     者：李明 

作者单位：山东师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：陈焕贞

授予年度：2010年

学科分类：07[理学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 

主      题：聚合物 non-Fickian流 Sobolev方程 H~1-Galerkin方法 扩展混合有限元方法 数值模拟 最优误差估计 数值实验 

摘      要：Sobolev方程刻画了诸如流体在高聚物中的渗透和扩散、、湿气在高聚物膜中的迁移等现象.大量的实验表明,流体在上述渗透与扩散过程中都伴随有以定常速度运动的陡峭锋线前沿,称之为non-Fickian现象,因而此种流动称之为non-Fickian流.在工业应用过程中,人们不仅关心流体在渗透和扩散过程中的浓度,同时还关注non-Fickian现象发生的时间与位置（浓度的梯度）和通过多孔介质时流体通量.本文对刻画non-Fickian流的非线性Sobolev方程提出了H1-Galerkin扩展混合有限元方法,以期能同时高精度逼近浓度、浓度梯度和流体通量.理论分析和数值实验表明,该方法是一种模拟non-Fickian流——Sobolev型方程的高性能数值方法. 首先对下列线性Sobolev方程提出了数值模拟该类问题的H1-Galerkin扩展混合有限元方法.论证表明,该方法继承了H1-Galerkin方法和扩展混合有限元方法的优点,即高精度逼近未知函数u、未知函数梯度p=（?）u和伴随向量σ=a（x,t）pt+b（x,t）p,有限元空间的选取无须满足LBB相容性条件,且在不引入旋度算子的情况下得出渗透流体的浓度u、浓度的梯度p和渗透流体的通量σ的最优L2误差估计,数值实验说明所提格式的有效性. 进一步,本文在弹性极限条件下,导出了流体在高聚物中流动的数学模型,即non-Fickian流可由下列非线性Sobolev方程刻画针对工业应用中,对non-Fickian流的扩散浓度,non-Fickian现象发生的位置和扩散通量的关注,提出了能同时高精度逼近这三个所关注物理量的H1-Galerkin扩展混合有限元格式.给出了相应的变分形式,并证明了与边值问题的等价性;建立了离散格式,证明了离散格式解的存在唯一性;通过采用归纳假设的办法分析证明了离散格式对真解u,真解的梯度p=（?）u和伴随通量σ=E（u）pt+D（u）p的最优L2收敛精度,数值实验支持了文中的理论分析结果,同时该方法够更好的处理因非线性项E（u）求逆和对时间求导带来的困难.因此,理论分析和数值实验都表明H1-Galerkin扩展混合有限元方法是数值离散non-Fickian流问题的高效数值方法.