风险模型下破产概率的局部定理

作     者：张宇玉 

作者单位：山西大学 

学位级别：硕士

导师姓名：刘维奇

授予年度：2007年

学科分类：02[经济学] 0202[经济学-应用经济学] 020208[经济学-统计学] 07[理学] 0714[理学-统计学（可授理学、经济学学位）] 070103[理学-概率论与数理统计] 0701[理学-数学] 

主      题：更新风险模型 平衡更新风险模型 延迟更新风险模型 布朗运动 破产概率的局部定理 

摘      要：破产概率的渐近估计是风险理论中最重要的研究课题之一，在实践中有重要指导作用。人们对经典的Cramer—Lundberg风险模型的研究已经比较完善。Embrechts和Veraverbeke[1]研究了更新风险模型，在假设索赔额是重尾分布的情况下，给出了破产概率ψ(x)的尾部等价关系式：ψ(x)～1/ρ(?)(x)这个结果被认为是极值理论中的一个经典结果。称R(x，x+z]=ψ(x)-ψ(x+z)为破产概率的局部解。当今，人们对破产概率局部解的渐近性质，即破产概率局部解当x→∞时的情况的研究十分感兴趣。 另一方面，实际中是不像经典风险模型那么理想化的，保险公司的总索赔额总是会受到这样那样的因素的影响的干扰，Gerber(1970)提出的带干扰的经典风险模型，他通过增加一个布朗运动推广了经典的Cramer-Lundberg模型，这种模型大大增强了原有模型的描述现实的能力。 本文主要讨论风险理论中破产概率的局部定理。论文通篇假定相对安全负荷条件ρ0成立。首先我们研究了在带干扰的更新风险模型和带干扰的平衡更新风险模型下，若索赔额分布F∈S，破产概率的局部定理。然后研究了Cramer—Lundberg风险模型，更新风险模型，平衡更新风险模型和延迟更新风险模型，在假设索赔额分布F∈S(ν)时，破产概率的局部定理。最后考察了带干扰的Cramer—Lundberg风险模型，当索赔额分布F∈S(ν)时，得到了破产概率的局部渐近表达式，从这个结果我们可以看到在这种情况下，干扰的影响不可忽略。 本文的主要结果如下： 1．基于分布族S的带干扰的更新风险模型破产概率的局部定理 考虑具有安全负荷条件ρ0的带干扰的更新风险模型，若非格子点的索赔额分布F∈S，则对(?)zo，有R(x，x+z]～z/(ρμ)(?)(x) 2．基于分布族S的带干扰的平衡更新风险模型破产概率的局部定理 考虑具有相对安全负荷条件ρ0的带干扰的平衡更新模型，若非格子点的索赔额F∈S，则对(?)z0，有R(x，x+z]～z/(ρμ)(?)(x) 3．基于分布族S(ν)的Cramer—Lundberg风险模型破产概率的局部定理 考虑具有相对安全负荷条件ρ0的经典Cramer—Lundberg风险模型，若F∈S(ν)，ν0，且integral from n=0 to∞e(?)(t)c/λ，即Lundberg指数不存在，则对任意的z0，有lim(R(x，x+z])/(?)(x)=(q(1-q)(1-e)/(μν(1-(1-q)/μintegral from n=0 to∞e(?)(t)dt)) 4．基于分布族S(ν)的更新风险模型破产概率的局部定理 考虑具有相对安全负荷条件ρ0的更新风险模型，若F∈S(ν)，ν0，且integral from n=0 to∞edG(t)∞，则对任意的z0，有lim (R(x，x+z])/((?)(x))=z/(ρμ) integral from n=0 to∞edG(t) 5．基于分布族S(ν)的平衡更新风险模型破产概率的局部定理 在具有相对安全条件ρ0的平衡更新风险模型下，如果索赔额分布F∈S(ν)，ν0，则对于任意的z0，有lim (R(x，x+z])/((?)(x))=(1-e/(1+ρ)μν)+z/(ρ(1+ρ)μ) integral from n=0 to∞e-dG(t) 6．基于分布族S(ν)的延迟更新风险模型破产概率的局部定理考虑具有相对安全负荷条件ρ0的延迟更新风险模型，且integral from n=0 to∞edG(t)∞，若非格子点索赔额分布F∈S(ν)，(ν0)则对任意的z0，一定有lim (R(x，x+z])/((?)(x))=z/(ρμ) integral from n=0 to∞edG(t) 7．基于分布族S(ν)的带干扰Cramer-Lundberg风险模型破产概率的局部定理 考虑具有相对安全负荷条件ρ0的带随机干扰的Cramer-Lundberg风险模型，在假定c／Dν下，如果索赔额分布F∈S(ν)，且integral from n=0 to∞e(?)(y)dy(c-Dν)/λ，则对任意的z0 lim (R(x，x+z])/((?)(x))=(q(1-q))/(μν)(1-e((c/D)/(c/D-ν)) 1/((1-(λ/(c-Dν))integral from n=0 to∞eνy(?)(y)dy))