狄氏型的扰动及其对应的位势与无穷小生成元

作     者：韩新方 

作者单位：海南师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：陈传钟

授予年度：2007年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：狄氏型 预解式 半群 无穷小生成元 光滑测度 符号光滑测度 Kato-类的光滑测度 正连续可加泛函 狄氏型的扰动 扰动型 相对核 容度 

摘      要：狄氏型与半群、预解式的一一对应关系，为我们研究算子半群及其拉普拉斯变换后得到的预解式的一些性质提供了一种便利和可应用的工具，而半群及其无穷小生成元与微分方程之间的密切联系也让我们对随机过程有了某种更直观的认识。而有关Feynman-Kac半群的研究一直以来都是数学和物理学家们共同感兴趣的研究课题。本文主要讨论与广义的Feynman-Kac半群联系的扰动型、相应的位势及以及广义Feynman-Kac半群的无穷小生成元(见图1-3)。定义经符号光滑测度μ扰动狄氏型(ε，D(ε))及其半群得到的扰动型(ε，D(ε))及广义的Feynman-Kac半裙如下： 我们的出发点是想得到像对称狄氏型一样的结果：扰动型的下半有界与广义Feynman-Kac半群的强连续等价。然而我们发现非对称狄氏型经光滑测度扰动后的情况是相当复杂的，具体来说连非对称无穷小生成元的谱分解以笔者的知识水平都无从谈起。不过仍然可以得到非对称情况下的广义预解方程(见引理3．1．1)，本文正是运用广义预解方程，通过比较两个α-过分函数的大小关系的思想，得到了有关扰动型与相应的位势以及广义Feynman-Kac半群的无穷小生成元之间的关系。 第一章，我们给出本文涉及到的基本的概念和记号，描述本文的背景以及主要结果，并在第二节中给出一些前人的研究成果。在第二章中我们证明了(ε，D(ε))经光滑测度μ扰动后的扰动型(ε，D(ε))仍是狄氏型(见定理2．2．1)，并得到U即为与狄氏型(ε，D(ε))对应的相对核(见定理2．2．2)，还得到对任意的p0，ε作用在U上类似于ε作用在位势函数U上以及更一般的一个结果(见定理2．3．1以及注2．3．3)。而在第三章中我们主要讨论符号光滑测度μ对非对称狄氏型的扰动。与对称狄氏型的情况平行，我们得到了U(L(E;m))(?)D(ε)的充分条件以及D(L)在L(E;m)中稠的充分条件(见定理3．2．1)。而当μ∈S—S时，我们得出了L与扰动型(ε，D(ε))之间的关系(见定理3．2．2)，最后一节我们讨论了Kato-类光滑测度的分析性质。