自由曲面最优参数化研究

作     者：宋天琦 

作者单位：山东大学 

学位级别：硕士

导师姓名：杨义军

授予年度：2017年

学科分类：08[工学] 081203[工学-计算机应用技术] 0812[工学-计算机科学与技术（可授工学、理学学位）] 

主      题：NURBS T样条 曲面参数化 

摘      要：自由曲线曲面造型技术一直是计算机图形学和计算机辅助设计的重点,在计算机动画、计算机游戏、人机交互及虚拟现实应用中起重要作用。曲面参数化的好坏很大程度上影响曲面纹理映射、曲面可视化、曲面离散算法的结果[11-14]。自由曲面具有二维参数域到三维空间域的有理多项式映射关系。通过曲面的重新参数化[11-14],曲面可以得到无穷多的不同的参数化表达。因此,根据实际应用可以选择出合适的参数化得到最优结果。非均匀有理B样条(NURBS)因其数学模型表达的统一而成为长期以来使用最广泛的曲面表达形式。但其控制网格严格要求矩形网格形式的拓扑结构,因此在曲面造型过程中,需要额外添加控制顶点来满足其拓扑需求,这既带来了更多的控制顶点数据,又给后期曲面算法的设计和处理引入更高的代价。为了突破拓扑限制带来的局限,Sederberg等首次根据NURBS曲面推广定义了 T样条曲面,同时,该曲面引入了 T节点,使得曲面控制网格拓扑结构不再是传统的矩形结构,能够在保持曲面几何造型的同时,去掉多余的控制顶点[48]。本文从自由曲面参数化中几个重要的特性出发,使用自由曲面的微分几何知识,给出了自由曲面参数化中正交性、保面积性和保角性的数学定义,针对不同自由曲面如Bezier曲面、NURBS曲面、T样条曲面的特点,分别讨论了满足特定参数化特性的约束条件及优化方法。对于曲面参数化正交特性,以Bezier曲面为例,推理并讨论了其需要满足的数学公式。发现了在正交特性下与控制顶点相关的约束条件[69],得出了两个参数方向上双1次为长方形的结论以及双2次的构造算法。最后讨论了扩展到任意次数Bezier曲面正交参数化的构造方法。针对曲面参数化保角特性,以NURBS曲面为例,介绍了几种NURBS曲面参数化中常用的变换,然后详细地推导了基于微分第一基本形式的保角能量,并使用辛普森法则给出其保角能量的数值估计。随后介绍了对给定的NURBS曲面如何使用一般双线性变换得到其最优保角参数化,最后展示了算法的流程和应用结果。在曲面的保面积重新参数化方面,以T样条曲面为例,给出一种使用给定NURBS曲面构造其T样条曲面的算法。在此之后,讨论了T样条曲面的保面积参数化,基于Mobius变换,利用其微分第一基本形式,详细地推导了 T样条重新参数化的保面积能量,通过最优化保面积能量,得出满足保面积约束的重新参数化结果。