一类微分方程Sturm-Liouville边值问题的解

作     者：侯丽芳 

作者单位：山西大学 

学位级别：硕士

导师姓名：李福义

授予年度：2009年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：Sturm-Liouville边值问题 非平凡解 多解 临界群 Morse不等式 

摘      要：这篇论文主要研究如下Sturm-Liouville边值问题解的存在性与多解性:其中f∈C([0,1]×R,R). 本文由三章构成,第一章为引言;在第二章,我们介绍了一些预备知识,以及证明我们的主要结果用到的一些引理、定理;在第三章,我们给f加上一些条件,得到了问题(1.1)至少有一个非平凡解,有限多个解以及无限多个解的存在性定理. 目前,国内外学者对于微分方程Dirichlet边值问题、周期边值问题、Neumann边值问题解的存在性、多解性、正解和变号解等问题获得了大量好的结果,见[1,4,5,9,12,19,21,38,52].微分方程Sturm-Liouville边值问题解的存在性与多解性,越来越受到国内外人们的关注,许多作者已利用拓扑度理论、不动点指数理论等方法对二阶Sturm-Liouville边值问题进行了广泛研究,获得了正解的存在性和多解性.但是用临界点理论来研究Sturm-Liouville边值问题的还比较少,用Morse理论研究的更少.例如对于该方法,已有不少作者作了应用,但主要以椭圆型边值问题为例,如[2,3,11].在[2,3]中,作者用变分方法把方程的解转化为泛函的临界点,在[11]中,他们都得到了比用传统的拓扑度理论如[4,5,6,7,8,9]更好的解的存在性结果. 首先,我们用文章[12]中的方法将问题(1.1)转化为积分方程.然后运用Morse理论,在跨特征值的情形下,我们得到了问题(1.1)非平凡解的存在性.这用普通的不动点指数理论和临界点理论是很难得到的.同时,我们给f加上一些条件,运用Morse理论,获得了问题(1.1)多解的存在性定理.我们的方法不同于以上文章. 下面,我们介绍本文主要结果. 定理3.1.假设μ(?){μ},且条件 (H)lim f(t, x)/x =μ关于t∈[0,1]是一致的;(H)f(t,0)=0 and f’(t,0)=η,t∈[0,1];(H)存在μ∈{μ},使得或者ημμ或者μμη成立.则问题(1.1)至少有一个非平凡解. 定理3.2.假设条件 (H)存在n∈N,使得 (H)存在i∈N,使得其中f(t)=limf’(t,x)关于t∈[0,1]是一致的.若|n-i|≥2m,则问题(1.1)至少有两个非平凡解. 定理3.3.假设f满足条件(H)和条件 (H)存在a,b∈R且aμ/2,使得则问题(1.1)至少有三个解. 定理3.4.假设;(H)存在v2, M0,使得0vF(t,u)≤uf(t,u),|u|≥M,t∈[0,1]. (H)f(t,u)关于u是奇的,即f(t,-u)=-f(t,u),(t,u)∈[0,1]×R.则问题(1.1)有无穷多对解. 定理3.5.假设f满足条件(H)和(H).则问题(1.1)至少有一个非平凡解.