线性偏微分算子右逆存在性问题的探讨

作     者：吴密景 

作者单位：山西大学 

学位级别：硕士

导师姓名：王光

授予年度：2004年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：右逆 SPL条件 d-拟齐次 无重因式的 内支点 P-边界凸 

摘      要：二十世纪五十年代初，法国数学大师L.Schwartz提出了如何判断线性偏微分算子P(D)右逆的存在性问题。即在什么条件下存在连续线性算子R使得P(D)R(f)=f，f∈ε(n)成立。此后众多的数学家从不同角度进行了研究探讨。1973年，L.Hormander在[1]中首次利用Phragmau-Lindelof原理(P-L条件)解决了解析空间A(Ω)上的满射问题，开创了利用P-L原理讨论线性偏微分算子解的存在性的先河。九十年代初ε(Ω)及D′(Ω)上具有右逆的常系数偏微分算子P(D)的刻划由R.Meise，Taylor和D.Vogt利用P-L原理比较完善的得到了解决(见[2])。他们证明了：偏微分算子P∈C[z，…，z]在ε(Ω)(或D′(Ω))上存在连续线性右逆的充分必要条件是它的零代数簇V(P)={z∈C：P(-z)=0}满足相应的P-L条件。随后，问题又被进一步扩展到了ω-超可微函数空间ε(Ω)以及ω-超广义函数空间D′(Ω)。并且得到一系列非常漂亮的结论([3]-[13])。各种P-L条件的估计也成为研究线性偏微分算子P(D)存在右逆的方法和手段。 设P(D)=(P+Q)(D)，其中P是P的主部。一般而言，若V(P)满足P-L条件则V(P)亦然。因此可将任意的算于P(D)看作对其主部P的扰动。关于具有右逆的偏微分算子的扰动问题，已有了不少结论(见文[6][7][8])。文[8]中，R.Meise等讨论了算于S(D)=P(D)-(?)右逆的存在性。本文第一章将进一步讨论算子s(D)=P(D)-(?)并给出其右逆存在的一个必要条件： 设P∈C[z，z，…，Z]是m(m≥3)阶多项式，其主部为P∈[z，z，…，z]。定义多项式S∈C[z，z，…，z(n+1)]，S(z′，Z)=P(x′)-z，若V(S)满足PL(R，log)，则对任意θ∈V(P)∩R，|θ|=1，P在θ点的局部化是无重因式的。 该结果推广了[8]中的结论。 R.Meise等在[2]中利用区域Ω的凸性刻划了P(D)右逆的存在性。给出了P-边界凸的概念。并证明了P(D)在ε(Ω)(和D′(Ω))上具有连续线性右逆的等价条件是Ω满足P-边界凸条件。但这一条件的验证通常比较困难。因此，第二章中我们利用内支点的概念给出了一个较直观判断开集Ω不是P-边界凸的方法： 设P是非常数的n维复多项式，Ω是R中的开集。若R\Ω中含有分支Q，Q具有C边界，且边界具有正的法曲率。N是边界(?)Q在点x处的单位外法向，Q={N：x∈(?)Ω}，S={x：|x|=1，x∈R}，B=S\Q。若对任意的N∈B有 线性偏橄令葬予右逆存在性问题的探讨 凡(N)尹0，则Q不是p一边界凸的. 由此，对某些n，可以根据其边界的几何性态来荆断其上的偏徽分算子尸(D)是 不存在右逆的.