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Verdier quotients of homotopy categories of rings and Gorenstein-projective precovers

Science China Mathematics 2024年第12期67卷 2701-2712页

作者： Manuel Cortes-Izurdiaga Departamento de Matematica Aplicada Universidad de MalagaMalaga 29071Spain

Let R be a ring, Proj be the class of all the projective right R-modules, K be the full subcategory of the homotopy category K(Proj) whose class of objects consists of all the totally acyclic complexes, and MorK be the class of all the morphisms in K(Proj) whose cones belong to K. We prove that if K(Proj) has enough MorK-injective objects, then the Verdier quotient K(Proj)/K has small Hom-sets, and this last condition implies the existence of Gorenstein-projective precovers in Mod-R and of totally acyclic precovers in C(Mod-R).

关键词： homotopy category Gorenstein-projective precover Verdier quotient small Hom-sets totally acyclic complex

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acyclic complexes and Gorenstein Rings

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Algebra Colloquium 2020年第3期27卷 575-586页

作者： Sergio Estrada Alina Iacob Holly Zolt Departamento de Matematicas Universidad de MurciaMurcia 30100Spain Department of Mathematical Sciences Georgia Southern University StatesboroGA 30460-8093USA

For a given class of modules A,let A be the class of exact complexes having all cycles in A,and dw(A)the class of complexes with all components in *** by GL the class of Gorenstein injective *** prove that the following are equivalent over any ring R:every exact complex of injective modules is totally acyclic;every exact complex of Gorenstein injective modules is in every complex in dw(GL)is dg-Gorenstein *** analogous result for complexes of flat and Gorenstein flat modules also holds over arb计rary *** the ring is n-perfect for some integer n≥0,the three equivalent statements for flat and Gorenstein flat modules are equivalent with their counterparts for projective and projectively coresolved Gorenstein flat *** also prove the following characterization of Gorenstein *** R be a commutative coherent ring;then the following are equivalent:(1)every exact complex of FP-injective modules has all its cycles Ding injective modules;(2)every exact complex of flat modules is F-totally acyclic,and every R-modulc M such that M^(+)is Gorenstein flat is Ding injective;(3)every exact complex of injectives has all its cycles Ding injective modules and every R-module M such that is Gorenstein flat is Ding *** R has finite Krull dimension,statements(1)-(3)are equivalent to(4)R is a Gorenstein ring(in the sense of Iwanaga).

关键词： totally acyclic complex Gorenstein injective module Gorenstein projective module Gorenstein flat module Ding injective module

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