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torus actions, fixed-point formulas, elliptic genera and positive curvature

Frontiers of Mathematics in China 2016年第5期11卷 1151-1187页

作者： Anand DESSAI Institute of Mathematics Beijing Jiaotong University Beijing 100044 China

We study fixed points of smooth torus actions on closed manifolds using fixed point formulas and equivariant elliptic genera. We also give applications to positively curved Riemannian manifolds with symmetry.

关键词： torus actions fixed point formulas equivariant indices elliptic genera rigidity and vanishing

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Positive curvature, symmetry, and topology

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Frontiers of Mathematics in China 2016年第5期11卷 1099-1122页

作者： Manuel AMANN Fakultat fur Mathematik Institut fiir Algebra und Geometrie Karlsruher Institut fiir Technologie Englerstraβe 2 76131 Karlsruhe Germany

We depict recent developments in the field of positive sectional curvature, mainly, but not exclusively, under the assumption of isometric torus actions. After an elaborate introduction to the field, we shall discuss various classification results, before we provide results on the computation of Euler characteristics. This will be the starting point for an examination of more involved invariants and further techniques. In particular, we shall discuss the Hopf conjectures, related decomposition results like the Wilhelm conjecture, results in differential topology and index theory as well as in rational homotopy theory, geometrically formal metrics in positive curvature and much more. The results we present will be discussed for arbitrary dimensions, but also specified to small dimensions. This survey article features mainly depictions of our own work interest in this area and cites results obtained in different collaborations; full statements and proofs can be found in the respective original research articles.

关键词： Positive sectional curvature torus actions Euler characteristic Hopf conjecture index theory Wilhelm conjecture geometric formality

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