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THE BALL-COVERING PROPERTY ON DUAL spaceS AND BANACH SEQUENCE spaceS

Acta Mathematica Scientia 2021年第2期41卷 461-474页

作者：商绍强 College of Mathematical Sciences Harbin Engineering UniversityHarbin 150001China

In this paper,we prove that(X,p)is separable if and only if there exists a w^(*)-lower semicontinuous norm sequence{p_(n)}_(n=1)^(∞)of(X^(*),p)such that(1)there exists a dense subset G_(n)of X^(*)such that p_(n)is Gateaux differentiable on G_(n)and dp_(n)(Gn_(n))■X for all n∈N;(2)p_(n)≤p and p_(n)→p uniformly on each bounded subset of X^(*);(3)for anyα∈(0,1),there exists a ball-covering{B(x^(*)i,n,Ti,n)}∞i=1 of(X^(*),p_(n))such that it isα-off the origin and x_(i,n)^(*)∈Gn_(n).Moreover,we also prove that if Xi is a Gateaux differentiability space,then there exist a real numberα>0 and a ball-covering(B)i of Xi such that(B)i isα-off the origin if and only if there exist a real numberα>0 and a ball-covering B of l^(∞)(X_(i))such that(B)isα-off the origin.

关键词： Ball-covering property separable space Gateaux differentiable point weak^(*)exposed point

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Acta Mathematica Scientia 1996年第3期16卷 248-256页

作者：钟怀杰 Dept. of Math. Fujian Normal University Fuzhou 350007 China

The problem whether every infinite dimensional Banach space has an infinite dimensional separable quotient space has remained unsolved for a long time. In this paper we prove: the Banach space X has an infinite dimensional separable quotient if and only if X has an infinite dimensional separable quasicomplemented subspace, also if and only if there exists a Banach space Y and a bounded linear operator T is an element of B(Y,X such that the range of T is nonclosed and dense in X. Besides, the other relevant questions for such spaces e.g. the question on operator ideals that on H.I.(hereditarily indecomposable) spaces, that on invariant subspaces of operators, etc, are also discussed.

关键词： Banach space separable space quotient space bounded linear operator

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