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Brake Orbits of a reversible Even hamiltonian System Near an Equilibrium

Acta Mathematica Sinica,English Series 2022年第1期38卷 263-280页

作者： Zhong Jie LIU Fan Jing WANG Duan Zhi ZHANG School of Science Tianjin Chengjian UniversityTianjin 300384P.R.China School of Mathematics and Statistics Shanghai Lixin University of Accounting and FinanceShanghai 201209P.R.China School of Mathematical Sciences and LPMC Nankai UniversityTianjin 300071P.R.China

In this paper,we consider the brake orbits of a reversible even hamiltonian system near an *** the hamiltonian system(H S)x=J H(x)satisfies H(0)=0,H(0)=0,reversible and even conditions H(Nx)=H(x)and H(-x)=H(x)for all x∈R^(2n).Suppose the quadratic form Q(x)=1/2 is ***τ_(0)>0 and assume that R^(2n)=E⊕F decomposes into linear subspaces E and F which are invariant under the flow associated to the linear system x=J H''(0)x and such that each solution of the above linear system in E isτ_(0)-periodic whereas no solution in Fhamiltonianisτ_(0)-***σ(τ_(0))=σ_Q(τ_(0))for the signature of Q|***σ(τ_(0))≠=0,we prove that either there exists a sequence of brake orbits x_k→0 withτk-periodic on the hypersurface H^(-1)(0)whereτ_k→τ_(0);or for eachλclose to 0 withλ_(σ)(τ_(0))>0 the hypersurface H-1(λ)contains at least 1/2|σ(τ_(0))|distinct brake orbits of the hamiltonian system(HS)near 0 with periods nearτ_(0).Such result for periodic solutions was proved by Bartsch in 1997.

关键词： Brake orbits reversible hamiltonian systems equilibrium even length and Conley index

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