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Context-free Grammars for Triangular Arrays

Acta Mathematica Sinica,English Series 2015年第3期31卷 445-455页

作者： Robert X.J.HAO Larry X.W.WANG Harold R.L.YANG Center for Combinatorics LPMC-TJKLC Nankai University

We consider context-free grammars of the form G = {f → f^b1＋b2＋1g^a1＋a2, g → f^b1 g^a1＋1},where ai and bi are integers sub ject to certain positivity conditions. Such a grammar G gives rise to triangular arrays {T（n, k）}0≤k≤n satisfying a three-term recurrence relation. Many combinatorial sequences can be generated in this way. Let Tn （x） =∑k=0^n T（n, k）x^k. Based on the differential operator with respect to G, we define a sequence of linear operators Pn such that Tn＋1（x） = Pn（Tn（x））. Applying the characterization of real stability preserving linear operators on the multivariate polynomials due to Borcea and Br？ndén, we obtain a necessary and sufficient condition for the operator Pn to be real stability preserving for any n. As a consequence, we are led to a sufficient condition for the real-rootedness of the polynomials defined by certain triangular arrays, obtained by Wang and ***, as special cases we obtain grammars that lead to identities involving the Whitney numbers and the Bessel numbers.

关键词： Context-free grammar stable polynomials real-rootedness Bessel numbers Whitneynumbers

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