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Pairs of integers which are mutually squares

Science China Mathematics 2017年第9期60卷 1633-1646页

作者： CHAKRABORTY Kalyan JIMENEZ URROZ Jorge PAPPALARDI Francesco Department of Mathematics Harish Chandra Research InstituteAllahabad 211019India Department of Mathemdticas Universidad Politecnica de CatalunyaBarcelona 08034Spain Dipartimento di Matematica Universith Roma TreRoma 1-00146Italy

We derived an asymptotic formula for the number of pairs of integers which are mutually squares. Earlier results dealt with pairs of integers subject to the restriction that they are both odd, co-prime and squarefree. Here we remove all these restrictions and prove （similar to the best known one with restrictions） cx2/log X with an absolute constant c that the number of such pair of integers upto a large real X is asymptotic to which we give explicitly. Our error term is also compatible to the best known one.

关键词： quadratic reciprocity mutually squares Jacobi symbol

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Enumeration of Cubic Cayley Graphs on Dihedral Groups

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Acta Mathematica Sinica,English Series 2017年第7期33卷 996-1010页

作者： Xue Yi HUANG Qiong Xiang HUANG Lu LU College of Mathematics and Systems Science Xinjiang UniversityUrumqi 830046P.R.China

Let p be an odd prime, and D2p = （a,b I aP = b2 = l,bab= a 1） the dihedral group of order 2p. In this paper, we completely classify the cubic Cayley graphs on D2p up to isomorphism by means of spectral method. By the way, we show that two cubic Cayley graphs on D2p are isomorphic if and only if they are cospectral. Moreover, we obtain the number of isomorphic classes of cubic Cayley graphs on D2 by using Gauss＇ celebrated law of quadratic reciprocity.

关键词： Cayley graph dihedral group cospectral isomorphic classes quadratic reciprocity

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