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Hochschild扩张和n-平凡扩张上的广义2-吸收理想的研究

Hochschild扩张和n-平凡扩张上的广义2-吸收理想的研究

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作者：张贝贝北京交通大学

学位级别：硕士

环的平凡扩张的概念已经被广泛应用于环理论以及其他领域的研究,如上同调理论、表示理论、范畴理论和同调代数.理想在环论中处于重要的地位,也是研究环论的一个重要工具.目前对于环的理想已经研究的非常充分.近年来,已有人利用环的理想... 详细信息

环的平凡扩张的概念已经被广泛应用于环理论以及其他领域的研究,如上同调理论、表示理论、范畴理论和同调代数.理想在环论中处于重要的地位,也是研究环论的一个重要工具.目前对于环的理想已经研究的非常充分.近年来,已有人利用环的理想的性质研究了平凡环扩张上的理想的性质.本文研究了Hochschild扩张和n-平凡扩张,它们是比平凡扩张更广泛的环扩张.特殊地,当Hochschild 2-循环α = 0时,Hochschild扩张就是平凡扩张;当n-平凡扩张中n = 1时,1-平凡扩张就是平凡扩张.本文研究了Hochschild扩张上的广义2-吸收理想的性质,包括2-吸收理想、弱2-吸收理想、2-吸收准素理想、弱2-吸收准素理想、半2-吸收理想、n-吸收理想以及(m,n)-闭理想等,并给出一些特殊的环,如局部环、整环、Prufer整环、交换可除环、约化交换环等,它们的Hochschild扩张上的理想的结构和性质.除此之外,本文研究了n-平凡扩张上的2-吸收理想、半2-吸收理想、m-吸收理想和(m,s)-闭理想等广义2-吸收理想,将平凡扩张上的相应广义2-吸收理想的性质推广到n-平凡扩张上.具体内容如下:第一章综述了论文的选题背景,以及有关文献的最新进展.引入了关于广义2-吸收理想的一些相关的定义和一些相关的结论,并且回顾了平凡扩张的概念、平凡扩张上的理想的一些性质、Hochschild扩张的概念等准备知识.在本文中,我们假定R是含有非零单位元的交换环,并在预备知识中,对Hochschild 2-循环α的性质进行了研究,得出α(1,r2r3)= α(],r2)r3,r1α(l,r3)=α(r1,1)r3,α(=r1r2,1)=r1α(= 1),(?)r1,r2,r3∈R.并在此基础上给出本文的假设条件α(a,b)=aα(1,b),对(?)a,b∈R.为了后续的证明,我们首先证明了一个重要引理:已知R是含有非零单位元的交换环,I是R的真理想,且I是R的P-准素理想,这里(?)I = P是R的素理想.令M是R-R-双模,n是M的子模,且IM(?)n,如果Hochschild 2-循环满足α(o,b=aα(1,b),对(?)a,b ∈R都成立,那么(1)(?)Hα(I,n)=Hα((?)I,M),(2)Hα(I,n)是Hα(R,M)的Hα((?)I,M)-准素理想.并且研究了交换环的Hochschild扩张的性质,如Jacobson基、幂零元、理想的高度、维数、零因子等.第二章,本文研究了Hochschild扩张上的广义2-吸收理想的性质,包括2-吸收理想、弱2-吸收理想、2-吸收准素理想、弱2-吸收准素理想、半2-吸收理想、n-吸收理想、(m,n)-闭理想的性质,将平凡扩张上的有关广义2-吸收理想的性质进行了推广:假定R是含有单位元1R ≠ 0的交换环,M是R-R-双模,I是R的真理想,对于任意Hochschild 2-循环α,Hα(R,M)是R和M的Hochschild扩张,那么,Hα(I,M)是Hα(R,M)的2-吸收理想(半2-吸收理想、n-吸收理想、(m,n)-闭理想)当且仅当I是R的2-吸收理想(半2-吸收理想、n-吸收理想、(m,n)-闭理想),这里I是R的真理想.并且研究了在Hochschild 2-循环α满足α(a,b)= aα(q,b),(?)a,b ∈R的条件下,Hα(R,M)上的弱2-吸收理想、2-吸收准素理想、弱2-吸收准素理想的性质,以及Hα(I,n)的性质,这里n是M的子模..并给出了当R是特殊的环,如局部环、整环、Prufer整环、交换可除环、约化环等时所得出的一些结论.第三章,本文研究了n-平凡扩张上的2-吸收理想、半2-吸收理想、n-吸收理想以及(m,s)-闭理想的性质,对于平凡扩张上的理想的性质进行了更进一步的推广,得到以下主要结果:假定R:=(Ri)i=1 n是含有非零单位元的交换环族,M:=(M,j,)1≤in是模族,使得对于(?)1≤in,Mi,j是(R,i,Rj)-双模,且Ii是R的真理想,I:=(Ii)i=1 n是理想族.我们得出,Ii是Ri的(m,s)-闭理想(特殊地,半2-吸收理想)当且仅当Tn(I,M)是Tn(R,M)的2-吸收理想(m,s)-闭理想(特殊地,半2-吸收理想).假定R:=(Ri)i=1 n是含有非零单位元的交换环族,M:=(Mi,j)1≤in是模族,使得对于(?)1 ≤in,Mi,j是(Ri,Rj)-双模,且Ii是Ri的真理想,I:=(Ii)i=1 n是理想族.我们得出,如果Tn(I,M)是Tn(R,M)的2-吸收理想(n-吸收理想),那么Ii是Ri的2-吸收理想(m-吸收理想);反之不成立.

关键词： Hochschild扩张 n-平凡扩张 2-吸收理想 n-吸收理想 (m,n)-闭理想

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