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作者：陈浩河北师范大学

学位级别：硕士

在算子理论中,不变子空间和约化子空间问题是非常有意义和重要的内容.在可分的Hilbert空间H上的每一个有界线性算子T都有一个非平凡的闭不变子空间是一个基本猜测.Hardy空间和Bergman空间上的不变子空间和约化子空间问题已经得到广泛研... 详细信息

在算子理论中,不变子空间和约化子空间问题是非常有意义和重要的内容.在可分的Hilbert空间H上的每一个有界线性算子T都有一个非平凡的闭不变子空间是一个基本猜测.Hardy空间和Bergman空间上的不变子空间和约化子空间问题已经得到广泛研究.由Sarason的结论,本文主要研究了当g(z)是一个n次多项式(n ≥ 2),我们引入在Bergman空间上的算子T1,其定义是乘法算子Mg加带特定权的Volterra算子Vg.我们证明在某个Hilbert空间S(D)上,T1相似于Mg.则对于g(z)=zn,利用矩阵及算子理论的技巧,我们刻画了 Bergman空间上的算子T的约化子空间.我们利用T的约化子空间刻画了S2(D)上乘法算子Mzn的约化子空间.本文内容的结构安排如下:第一部分为预备知识:介绍了单位圆盘上的Bergman空间La2(D)的定义,给出了两个算子相似,不变子空间和约化子空间,算子的换位子,投影算子等概念.第二部分通过定义Hilbert空间S(D),证明了作用在这个Hilbert空间上的算子T1相似于Mg.第三部分我们取g(z)=zn,相应的算子记为T,通过矩阵的乘法和投影算子与约化子空间的关系,我们证明了 T有2个约化子空间.第四部分由算子T与在空间S(D)上的算子Mzn相似,我们得到在空间S(D)上Mzn有2n个约化子空间且极小约化子空间为L,L,…,L.

关键词： n移位算子 Volterra算子相似性约化子空间 Bergman空间

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Dirichlet空间上一类积分算子的约化子空间

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数学物理学报（A辑） 2021年第3期41卷 595-602页

作者：张核心河北师范大学数学科学学院石家庄050024

刻画了n移位算子加带特定权的Volterra算子T_(1)在Dirichlet空间上的相似性,利用算子理论技巧证明了T_(1)在Dirichlet空间上的作用和乘法算子M_(p)在空间S(D)上的作用相似,进一步证明了当p(z)=z^(n)时相应的算子T_(2)有2^(n)个约化子空间.

关键词： Dirichlet空间 Volterra算子 n移位算子约化子空间

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Dirichlet空间上一类积分算子的相似性和约化子空间

Dirichlet空间上一类积分算子的相似性和约化子空间

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作者：张核心河北师范大学

学位级别：硕士

在算子理论与算子代数领域,一直有这样一个有趣的问题:在一个复Banach空间上,是否每个有界算子都可以把某个非平凡的闭子空间还映回到这个闭子空间本身.这就是著名的不变子空间问题,它至今尚没有得到完全解决.虽然对Banach空间上某些特... 详细信息

在算子理论与算子代数领域,一直有这样一个有趣的问题:在一个复Banach空间上,是否每个有界算子都可以把某个非平凡的闭子空间还映回到这个闭子空间本身.这就是著名的不变子空间问题,它至今尚没有得到完全解决.虽然对Banach空间上某些特殊算子类达到了部分解决,但是对于可分Hilbert空间这依然是一个开放性问题.从某种意义上讲,移位算子是算子理论的基石,许多重要的算子都是在移位算子的基础上构作的.Volterra算子的拟幂零性和紧性使得它的应用颇为广泛.基于此,许多数学家投身于对这两类算子的研究.过去的七十年里,Bergman空间中的n移位算子的相似性和约化子空间问题取得了许多显著的成果,Volterra算子的相似性和约化子空间也备受瞩目,但是两者结合起来的研究还很少.2014 年 Omar El-Fallah 等人在 A Primer on the Dirichlet Space一书中写到:从许多角度来看,狄利克雷空间是一个临界空间,这种边缘特性使得它在函数空间里既有趣又颇有挑战.Dirichlet空间上许多重要的问题仍然没有被解决,这使得它依然是一个活跃的研究领域.本文刻画了 Dirichlet空间上n移位算子加p诱导的Volterra算子的相似性和约化子空间,旨在进一步丰富解析函数空间中Volterra算子约化子空间问题的相关结论.在本文中,设p（z）为多项式,定义算子Mp（z）加p诱导的Volterra算子Vp为算子T1.首先刻画了T在Dirichlet空间上的相似性,利用算子理论技巧证明了作用在Dirichlet空间上的算子T1和作用在S（D）空间上的算子Mp（z）相似.接着,进一步证明了当p（z）=zn时相应的算子T2有2n个约化子空间.论文组织结构如下:第一章,介绍研究背景知识.梳理不变子空间问题的起源与发展现状,总结相关的专业术语和结论.第二章,着重刻画Dirichlet空间上算子T1的相似性.首先,通过灵活运用级数和Cauchy-Schwarz不等式研究了T1的值域空间.第二,运用算子理论的技巧构造空间S（D）,使得其恰为Vp的值域,并定义其上的范数和内积.第三,研究Vp的有界性、可逆性、相似性等,并证明T1相似于Mp.最后,把结论的核心部分用交换图表示出来.第三章,研究算子T2的约化子空间.运用由一般到特殊的思想,以换位代数、投影算子和分块矩阵为工具,先考虑一般有界算子在Dirichlet空间的一组规范正交基下的矩阵表示,再考虑特殊的投影算子在这组基下的矩阵表示,经过复杂的无穷矩阵演算,最后得到T2的约化子空间为c1H1（?）c2H2（?）…（?）cnHn,（ci=0,1）.第四章,研究总结与展望.

关键词： Dirichlet空间 Volterra算子 n移位算子约化子空间相似性

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