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自O．Toeplitz在1918年提出了一个复矩阵的数值域的概念和F．Hausdorff在1919年证明了复矩阵是凸集以来，有关数值域的几何性质的研究([7][22][30][6][21])变得非常活跃。这些研究涉及到了基础数学及应用数学许多不同分支，如泛函分析，系统论，量子物理等等，并且在这些分支上得到了广泛的应用。随着数值域的发展，各种广义数值域也相继出现，象联合(joint)数值域([1])，c-数值域([20][5])，极大数值域([4][8])，本性数值域，和本性极大数值域。1998年Lange和Tretter在研究算子矩阵的谱理论的过程中提出了二次数值域的概念([11])，在2001年，Lange，Markus，Matsaev和Tretter在[10]中对二次数值域的基本性质进行了初步的研究，同年还研究了数值域和二次数值域的角点([12])，使得人们对于二次数值域有了一个进一步的了解．我们都知道Hilbert空间上的正交投影和Hilbert空间的闭子空间是一一对应的。对于Hilbert空间上的任意两个算子A，B，[19]中证明了R(A)+R(B)=R((AA+BB)1／2)。[24]给出了正则投影对的概念。并且[12]给出了正则投影对的刻画。本文就数值域的非端点，n次数值域和正交投影对等问题进行了研究，主要内容如下：第一章作为本文的预备知识，我们介绍了该文中所用的符号，概念和基本定理。本文在第二章第二节研究了数值域非端点的特征。如果我们知道了一个集合的端点，就可以刻画这个集合。相反的如果我们知道了这个集合的非端点的特征，我们也就研究清楚了这个集合。本文就是从数值域的非端点这个角度来研究数值域的性质。在第三节里，我们研究了一种广义数值域：n次数值域，n次数值域作为数值域的一个推广，其最重要的性质是能够更好的估计出一个算子的谱的位置特征。我们研究了紧算子T的谱与其n次数值域的关系，并且得到在本文第三章里，我们研究了正交投影对(P，Q)的和，差和积的一些性质，同时我们给出了正交投影对(P，Q)是Fredholm的刻画并研究了交换子A：=PQ-QP的谱和范数等一些基本性质。

关键词：数值域端点 n次数值域正交投影正则对

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关于有界线性算子的二次数值域

关于有界线性算子的二次数值域

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作者：张景杰陕西师范大学

学位级别：硕士

自Toeplitz和Hausdorff在1918-1919年首先证明了Toeplitz-Hausdorff定理以后，有关数值域、数值半径以及各种广义数值域及其数值域半径的研究变得非常活跃。对它们的研究涉及到了基础数学及应用数学许多不同的分支，诸如算子理论，泛函... 详细信息

自Toeplitz和Hausdorff在1918-1919年首先证明了Toeplitz-Hausdorff定理以后，有关数值域、数值半径以及各种广义数值域及其数值域半径的研究变得非常活跃。对它们的研究涉及到了基础数学及应用数学许多不同的分支，诸如算子理论，泛函分析，C-代数，Banach代数，矩阵范数，不等式，数值分析，扰动性理论，矩阵多项式，系统论，量子物理等等，并且在这些分支上面得到了广泛的应用。近年来，为了上述某些数学分支发展的需要，人们在研究分块算子矩阵谱理论的过程中引入了数值域的一个重要推广：二次数值域。我们知道，研究谱理论的一个重要目的就是了解谱的位置特征，通过对比可知，二次数值域较之数值域能够更好地给出所给算子的谱的位置特征，这引起了我们的研究兴趣，本文将着重就二次数值域的相关问题进行较深入地研究，同时我们还提出了一些有待解决的问题，我们认为这些问题是值得大家共同去研究和探讨的。本文的主要内容如下：第一部分：主要研究了有界线性算子的二次数值域。为了对数值域的本质有更进一步地了解，首先根据Toeplitz-Hausdorff定理的证明方法，得到了数值域的一个等价刻画：W(A)：UW(PA|E)，接着引入了二次数值域的定义，从二次数值域的定义我们可以看出，一般说来，在不同的空间分解下，一个算子的二次数值域也会截然不同，但是当所给的两种空间分解有某种关系时，它在这两种空间分解下的二次数值域是相等的。通过对比可知，一个算子的二次数值域比它的数值域能够更好地给出它的谱的位置特征，也许正是由于这个原因，作为数值域的最重要的性质之一的凸性，二次数值域却不具备，甚至有时二次数值域都不是连通的，接下来给出了一个算子的二次数值域不连通需要满足的条件。第二部分：研究了二次数值域的推广：n次数值域。首先给出了n次数值域的定义，我们发现n次数值域不但具有一系列和二次数值域类似的性质，而且在给定的条件下还有n次数值域包含在二次数值域当中，另外当Η是n维Hilbert空间时，它的n次数值域就等于它的谱集，前面的结论促使我们猜想，当Η是无限维Hilbert空间时，对Η的任意的空间分解D∈，都应该有下面的式子成立：σ(A)=∩W(A)。第三部分：研究了数值域与算子补问题。首先用一种新的证明方法证明了[17]中的一个数值域的投影扰动定理，同时，我们发现文中所举的一个例子是错误的，通过对这个错误例子的分析，我们得到了一个更一般的结论．其次，受前面的引理的启发，根据一个算子的数值域和它的谱之间的关系，研究了数值域与谱扰动问题，在本章的最后，我们给出了几个证明的改进．

关键词： Hilbert空间有界线性算子谱数值域二次数值域 n次数值域算子矩阵

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无穷维Hamilton算子四次数值域的对称性

无穷维Hamilton算子四次数值域的对称性

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作者：姜丹内蒙古大学

学位级别：硕士

本文共分为三章,第一章简要概述了无穷维Hamilton算子谱、数值域、二次数值域的研究发展概况和本文的主要结果;第二章主要研究了一类上三角无穷维Hamilton算子的四次数值域的对称性问题;第三章中,把第二章研究的结论推广到一般无穷维Ham... 详细信息

本文共分为三章,第一章简要概述了无穷维Hamilton算子谱、数值域、二次数值域的研究发展概况和本文的主要结果;第二章主要研究了一类上三角无穷维Hamilton算子的四次数值域的对称性问题;第三章中,把第二章研究的结论推广到一般无穷维Hamilton算子上去.

关键词：无穷维Hamilton算子 n次数值域四次数值域点谱剩余谱对称性

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