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The boundary value problem for the mean field equation on a compact Riemann surface

Science China Mathematics 2023年第1期66卷 115-142页

作者： Jiayu Li Linlin Sun Yunyan Yang School of Mathematical Sciences University of Science and Technology of ChinaHefei 230026China School of Mathematics and Statistics Wuhan UniversityWuhan 430072China School of Mathematics Renmin Universityof ChinaBeijing100872China

Let(Σ,g)be a compact Riemann surface with smooth boundary■Σ,Δ_(g) be the Laplace-Beltrami operator,and h be a positive smooth *** a min-max scheme introduced by Djadli and Malchiodi(2008)and Djadli(2008),we prove that ifΣis non-contractible,then for anyρ∈(8kπ,8(k+1)π)with k∈N^(*),the mean field equation{Δgu=ρhe^(u)/∫∑he^(u)dv_(g)in∑,u=0 on■∑has a *** generalizes earlier existence results of Ding et al.(Ann Inst H PoincaréAnal Non Linéaire,1999)and Chen and Lin(2003)in the Euclidean *** we consider the corresponding Neumann boundary value *** h is a positive smooth function,then for anyρ∈(4kπ,4(k+1)π)with k∈N^(*),the mean field equation{Δgu=ρhe^(u)/∫_(∑)he^(u)dv_(g)-1/|∑|in∑,■u/■v=0 on■∑has a solution,where v denotes the unit normal outward vector on ■Σ.Note that in this case we do not require the surface to be non-contractible.

关键词： mean field equation topological method min-max scheme

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