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lower bounds of principal eigenvalue in dimension one

Frontiers of Mathematics in China 2012年第4期7卷 645-668页

作者： Mu-Fa CHEN School of Mathematical Sciences Beijing Normal UniversityLaboratory of Mathematics andComplex Systems(Beijing Normal University)Ministry of EducationBeijing 100875China

For the principal eigenvalue with bilateral Dirichlet boundary condition, the so-called basic estimates were originally obtained by capacitary method. The Neumann case （i.e., the ergodic case） is even harder, and was deduced from the Dirichlet one plus a use of duality and the coupling method. In this paper, an alternative and more direct proof for the basic estimates is presented. The estimates in the Dirichlet case are then improved by a typical application of a recent variational formula. As a dual of the Dirichlet case, the refine problem for bilateral Neumann boundary condition is also treated. The paper starts with the continuous case （one-dimensional diffusions） and ends at the discrete one （birth-death processes）. Possible generalization of the results studied here is discussed at the end of the paper

关键词： Principal eigenvalue lower estimate variational formula one- dimensional diffusion birth-death process

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