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Analytic Solutions of an iterative differential equation under Brjuno Condition

Acta Mathematica Sinica,English Series 2009年第9期25卷 1469-1482页

作者： Jian LIU Jian Guo SI School of Science University of Ji'nan Ji'nan 250022 P.R. China School of Mathematics Shandong University Ji'nan 250100 P.R. China

In this paper, the differential equation involving iterates of the unknown function,x＇（z）=[a^2-x^2（z）]x^[m]（z）with a complex parameter a, is investigated in the complex field C for the existence of analytic solutions. First of all, we discuss the existence and the continuous dependence on the parameter a of analytic solution for the above equation, by making use of Banach fixed point theorem. Then, as well as in many previous works, we reduce the equation with the SchrSder transformation x（z） = y（αy^-1（z）） to the following another functional differential equation without iteration of the unknown functionαy＇（αz）=[a^2-y^2（αz）]y＇（z）y（α^mz）,which is called an auxiliary equation. By constructing local invertible analytic solutions of the auxiliary equation, analytic solutions of the form y（αy^-1 （z）） for the original iterative differential equation are obtained. We discuss not only these α given in SchrSder transformation in the hyperbolic case 0 〈｜α｜〈 1 and resonance, i.e., at a root of the unity, but also those α near resonance （i.e., near a root of the unity） under Brjuno condition. Finally, we introduce explicit analytic solutions for the original iterative differential equation by means of a recurrent formula, and give some particular solutions in the form of power functions when a = 0.

关键词： iterative differential equation analytic solution Banach fixed point theorem resonance Diophantine condition Brjuno condition

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ANALYTIC SOLUTIONS OF AN iterative equation WITH FIRST ORDER DERIVATIVE

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Annals of differential equations 2005年第3期21卷 337-342页

作者： Liu Hanze Qiu Fang Dept. of Math. Binzhou University Binzhou 256600

This paper is concerned with a nonlinear iterative equation with first order derivative. By construction a convergent power series solution, analytic solutions for the original equation are obtained.

关键词： iterative differential equation analytic solution complex number field

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