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Some extremal results on hypergraph turán problems

Science China Mathematics 2022年第8期65卷 1765-1774页

作者： Zixiang Xu Tao Zhang Gennian Ge School of Mathematical Sciences Capital Normal UniversityBeijing 100048China School of Mathematics and Information Science Guangzhou UniversityGuangzhou 510006China

For two r-graphs T and H,let ex_(r)(n,T,H)be the maximum number of copies of T in an n-vertex H *** determination of the turán number ex_(r)(n,T,H)has become the fundamental core problem in extremal graph theory ever since the pioneering work of turán’s theorem was published in *** we have some rich results for the simple graph case,only sporadic results have been known for the hypergraph turán *** this paper,we mainly focus on the function ex_(r)(n,T,H)when H is one of two different hypergraph extensions of the complete bipartite graph K_(s,t).The first extension is the complete bipartite r-graph K^((r))_(s,t),which was introduced by Mubayi and Verstraëte(2004).Using the powerful random algebraic method,we show that if s is sufficiently larger than t,then ex_(r)(n,T,K^((r))_(s,t))=Ω(n^(v−e/t)),where T is an r-graph with v vertices and e *** particular,when T is an edge or some specified complete bipartite r-graph,we can determine their *** second important extension is the complete r-partite r-graph K^((r))_(s1,s2,…,sr,)which has been widely *** r=3,we provide an explicit construction giving ex_(3)(n,K^((3))_(2,2,7))≥1/27n19/7+o(n19/7).Our construction is based on the norm graph,and improves the lower boundΩ(n73/27)obtained by the probabilistic method.

关键词： hypergraph turán problem random algebraic construction explicit construction

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