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Weighted stationary phase of higher orders

Frontiers of Mathematics in China 2017年第3期12卷 675-702页

作者： Mark MCKEE Haiwei SUN Yangbo YE Department of Mathematics The University of Iowa Iowa City IA 52242-1419 USA School of Mathematics and Statistics Shandong University Weihai 264209 China

The subject matter of this paper is an integral with exponential oscillation of phase f（x） weighted by g（x） on a finite interval [α, β]. When the phase f（x） has a single stationary point in （α,β）, an nth-order asymptotic expansion of this integral is proved for n ≥ 2. This asymptotic expansion sharpens the classical result for n = 1 by M. N. Huxley. A similar asymptotic expansion was proved by V. Blomer, R. Khan and M. Young under the assumptions that f（x） and g（x） are smooth and g（x） is compactly supported on R. In the present paper, however, these functions are only assumed to be continuously differentiable on [α,β] 2n ＋ 3 and 2n ＋ 1 times, respectively. Because there are no requirements on the vanishing of g（x） and its derivatives at the endpoints α and β, the present asymptotic expansion contains explicit boundary terms in the main and error terms. The asymptotic expansion in this paper is thus applicable to a wider class of problems in analysis, analytic number theory, and other fields.

关键词： first derivative test weighted stationary phase

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Spectral square moments of a resonance sum for Maass forms

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Frontiers of Mathematics in China 2017年第5期12卷 1183-1200页

作者： Nathan SALAZAR Yangbo YE Department of Mathematics The University of Iowa Iowa City Iowa 52242-1419 USA

Let f be a Maass cusp form for Г0（N） with Fourier coefficients 1 k2. λf（n） and Laplace eigenvalue 1/4 ＋k2 For real α≠0 and β 〉 0, consider the sum Sx（f; α,β） = ∑n λf（n）e（αnβ）φ（n/X）, where φ is a smooth function of compact support. We prove bounds for the second spectral moment of Sx （f;α, β）, with the eigenvalue tending towards infinity. When the eigenvalue is sufficiently large, we obtain an average bound for this sum in terms of X. This implies that if f has its eigenvalue beyond X1/2＋ε, the standard resonance main term for Sx（f; ±2√q 1/2）, q ∈Z＋, cannot appear in general. The method is adopted from proofs of subconvexity bounds for Rankin-Selberg L-functions for GL（2） × GL（2）. It contains in particular a proof of an asymptotic expansion of a well-known oscillatory integral with an enlarged range of Kε≤ L≤ K1-ε. The same bounds can be proved in a similar way for holomorphie cusp forms.

关键词： Cusp form Maass form Fourier coefficient of cusp form Kuznetsovtrace formula resonance sum first derivative test weighted stationary phase

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