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Linear Biseparating Maps between Vector-valued Little Lipschitz Function Spaces

Acta Mathematica Sinica,English Series 2010年第6期26卷 1005-1018页

作者： A. JIMENEZ-VARGAS Ya-Shu WANG Departamento de Algebra y Andlisis Matemdtico Universidad de Almerla 04120 Almerla Spain Department of Applied Mathematics National Sun Yet-Sen University 804 Kaohsinug Taiwan

In this paper we provide a complete description of linear biseparating maps between spaces lip0（X^a, E） of Banach-valued little Lipschitz functions vanishing at infinity on locally com-pact HSlder metric spaces X^a=（X,dx^a） with 0〈a〈***, it is proved that any linear bijection T ： lip0（X^a,E）→lip0（Y^a,F）satisfying that ｜｜Tf（y）｜｜F｜｜Tg（y）｜｜F= 0 for all y ∈ Y if and only if ｜｜f（x）｜｜E｜｜g（x）｜｜E=0 for all x E X, is a weighted composition operator of the form Tf（y） = h（y）（f（φ（y）））, where φ is a homeomorphism from Y onto X and h is a map from Y into the set of all linear bijections from E onto F. Moreover, T is continuous if and only if h（y） is continuous for all y ∈ Y. In this case, φ becomes a locally Lipschitz homeomorphism and h a locally Lipschitz map from Y^a into the space of all continuous linear bijections from E onto F with the metric induced by the operator canonical norm. This enables us to study the automatic continuity of T and the existence of discontinuous linear biseparating maps.

关键词： linear biseparating map little Lipschitz function Banach-Stone theorem automatic continuity

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