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Ergodicity of the 2D Navier-Stokes Equations with Degenerate Multiplicative Noise

Acta Mathematicae Applicatae Sinica 2018年第1期34卷 97-118页

作者： Zhao DONG Xu-hui PENG RCSDS Academy of Mathematics and Systems Science Chinese Academy of Sciences China Key Laboratory of High Performance Computing and Stochastic Information Processing (HPCSIP) (Ministry of Education of China) College of Mathematics and Computer Science Hunan Normal University Changsha 410081. China School of Mathematics Sciences University of Chinese Academy of Sciences Beijing 100190 China

Consider the two-dimensional, incompressible Navier-Stokes equations on torus T^2= [-π, π]^2 driven by a degenerate multiplicative noise in the vorticity formulation（abbreviated as SNS）： dwt = ν？w_tdt ＋B（Kw_t, w_t）dt ＋ Q（w_t）dW t. We prove that the solution to SNS is continuous differentiable in initial value. We use the Malliavin calculus to prove that the semigroup{P_t}_t≥0 generated by the SNS is asymptotically strong feller. Moreover, we use the coupling method to prove that the solution to SNS has a weak form of *** almost the same Hypotheses as that given by Odasso, Prob. Theory Related Fields, 140： 41–82（2005）with a different method, we get an exponential ergodicity under a stronger norm.

关键词： tochastic Navier-Stokes equation asymptotically strong feller property ergodicity

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