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The abc-conjecture for Algebraic Numbers

Acta Mathematica Sinica,English Series 2006年第1期22卷 211-222页

作者： Jerzy BROWKIN Institute of Mathematics University of Warsaw ul. Banacha 2 PL-02-097 Warsaw Poland

The abe-conjecture for the ring of integers states that, for every ε 〉 0 and every triple of relatively prime nonzero integers （a, b, c） satisfying a ＋ b = c, we have max（｜a｜, ｜b｜, ｜c｜）〈 rad（abc）^1＋ε with a finite number of exceptions. Here the radical rad（m） is the product of all distinct prime factors of m. In the present paper we propose an abe-conjecture for the field of all algebraic numbers. It is based on the definition of the radical （in Section 1） and of the height （in Section 2） of an algebraic number. From this abc-conjecture we deduce some versions of Fermat＇s last theorem for the field of all algebraic numbers, and we discuss from this point of view known results on solutions of Fermat＇s equation in fields of small degrees over Q.

关键词： abc-conjecture Radical Height Fermat's last theorem for algebraic numbers

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