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本文主要研究二次曲率泛函临界度量的刚性结果.众所周知,对于限制在单位体积的度量类空间名（Mn）上的Einstein-Hilbert泛函来说,Einstein度量都是临界度量,其中R是数量曲率.因此很多数学工作者开始着手研究一般的Euler-Lagrange方程的刚性结果.Catino研究了同样限制在M1（Mn）上的二次曲率泛函的一些刚性结果,其中Ric是Ricci曲率.从Ft泛函的Euler-Lagrange方程（2-16）可以看出:对于任意的t ∈ R,所有的Einstein度量都是Ft的临界点.第三章主要研究紧致黎曼流形上,在Cotton张量为零的条件下,二次曲率泛函临界度量的一些刚性结果.使用有关weyl曲率张量的不等式估计与散度定理,得到了临界度量是Einstein度量以及常截面曲率度量的分类结果.第四章主要研究在完备黎曼流形下,曲率泛函的一些刚性结果,其中t,s是实数（当s=0时,Ft,0泛函对应的就是泛函Ft）,Rm代表黎曼曲率张量.选取合适的截断函数然后在积分的条件下得到所需的刚性结果.同时,在证明的过程中我们用到了 weyl曲率的不等式以及Sobolev常数等.

关键词：临界度量 Cotton张量 weyl曲率 Einstein度量截断函数二次曲率泛函 Sobolev常数

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关于一些特殊黎曼流形的刚性刻画

关于一些特殊黎曼流形的刚性刻画

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作者：曾倩玉河南师范大学

学位级别：硕士

众所周知,研究黎曼流形上的刚性定理是子流形几何中的一个重要课题.本文旨在研究一些特殊黎曼流形上的刚性定理,主要的结构安排如下所示:首先,第二章是在Bach张量Bij的基础上,定义出了一个α-Bach张量Bijα,然后分别在流形紧致和流形完... 详细信息

众所周知,研究黎曼流形上的刚性定理是子流形几何中的一个重要课题.本文旨在研究一些特殊黎曼流形上的刚性定理,主要的结构安排如下所示:首先,第二章是在Bach张量Bij的基础上,定义出了一个α-Bach张量Bijα,然后分别在流形紧致和流形完备的条件下,探究流形在满足何种条件下将是Einstein流形,并且得出在α-Bach平坦的黎曼流形上的相关刚性定理.其次,第三章是在Catino所研究的具有正常数数量曲率的流形上的刚性定理的成果上,去掉数量曲率是常数这个条件,在条件弱化的情况下,得出了具有正数量曲率的流形上的一些刚性定理.最后,第四章在Schouten张量P的基础上,定义出了一个广义Schouten张量Pτ,然后构造出由Pτ所决定的一个k-曲率σk（Pτ）以及k-曲率泛函进而推导出在黎曼流形Mn紧致,g是Mn的临界度量的情况下,能满足σk（Pτ）是常数的条件,并得出泛函Fkτ（g）的第一变分公式与第二变分公式.

关键词： Bach张量 Schouten张量 weyl曲率 Cotton张量 k-曲率泛函

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常旗曲率（α，β）度量的分类

常旗曲率（α，β）度量的分类

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作者：寇力英北京工业大学

学位级别：硕士

在Finsler几何中,(α,β)度量是一类特殊的Finsler)度量,它具有以下形式：Fαφ(s),s=β/α,其中α=√αijyiyi是Riemann度量,β=bi(x)yi是1-形式,φφ(s)是开区间(-b0,b0)上的正的光滑函数.关于常旗曲率(α,β)度量的分类问题是一个很... 详细信息

在Finsler几何中,(α,β)度量是一类特殊的Finsler)度量,它具有以下形式：Fαφ(s),s=β/α,其中α=√αijyiyi是Riemann度量,β=bi(x)yi是1-形式,φφ(s)是开区间(-b0,b0)上的正的光滑函数.关于常旗曲率(α,β)度量的分类问题是一个很重要的研究课题,并取得一定的进展.本文研究的是一类比较特殊的(α,β)度量,φ(s)=1+εs+2s2-3/1s4,即Fα+εβ+2α8β2-3α/β4.我们讨论该度量具有常旗曲率的分类问题.我们首先计算出(α,β)度量的Riemann曲率和Ricci曲率的表达式,然后计算出度量F=α+εβ+2β/β2-3β3/β4的Riemann曲率和Ricci曲率的表达式,根据其Ricci曲率我们讨论该类度量有常旗曲率所满足的必要条件,然后证明出这类度量是射影平坦的,并且给出了这类度量的分类结果.本文共分为三个部分：第一章主要介绍了文章的背景和相关定义、定理;第二章主要介绍了(α,β)度量的Riemann曲率和Ricci曲率的性质;第三章给出了常旗曲率的(α,β)度量F=α+εβ+2α/β2-3α3/β4的分类结果,并给出了具体证明.

关键词： Finsler几何 (α,β)度量旗曲率 weyl曲率 Ricci曲率

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