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Powers of the Catalan Generating Function and Lagrange's 1770 Trinomial Equation Series

Journal of Mathematical Research with Applications 2019年第6期39卷 603-606页

作者： H.W.GOULD Department of Mathematics West Virginia University

The Catalan numbers 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862,... are given by C（n）=■for n ≥ 0. They are named for Eugene Catalan who studied them as early as *** were also found by Leonhard Euler（1758）, Nicholas von Fuss（1795）, and Andreas von Segner（1758）. The Catalan numbers have the binomial generating function ■It is known that powers of the generating function C（z） are given by ■The above formula is not as widely known as it should be. We observe that it is an immediate, simple consequence of expansions first studied by J. L. Lagrange. Such series were used later by Heinrich August Rothe in 1793 to find remarkable generalizations of the vandermonde convolution. For the equation x-3x + 1 = 0, the numbers ■analogous to Catalan numbers occur of course. Here we discuss the history of these expansions. and formulas due to L. C. Hsu and the author.

关键词： Catalan numbers vandermonde convolution Lagrange and Bürmann series Rothe’s formula(or general identity of Rothe-Hagen)

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