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二维双边空间分数阶对流扩散方程的数值求解

二维双边空间分数阶对流扩散方程的数值求解

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作者：苏树周华南理工大学

学位级别：硕士

对流扩散方程是一类基本的运动方程,它可以用来描述大气污染、河流污染、核废物污染中污染物质的分布,流体的流动和流体中热的传导等众多物理现象.但是,分数阶微分方程的求解方法不及整数阶微分方程那样完善,还没有比较系统的求解公式,... 详细信息

对流扩散方程是一类基本的运动方程,它可以用来描述大气污染、河流污染、核废物污染中污染物质的分布,流体的流动和流体中热的传导等众多物理现象.但是,分数阶微分方程的求解方法不及整数阶微分方程那样完善,还没有比较系统的求解公式,目前对它的研究还处于初级阶段.和整数阶微分方程的情况一样,只有很少类型的分数阶微分方程能够求出解析解.大多数情况下,只能使用数值方法来进行计算.因此,对分数阶微分方程进行数值求解有着十分重要的意义.本文主要研究二维的双边空间分数阶对流扩散方程的数值解法.文中的分数阶导数均指Riemann-Liouville定义下的分数阶导数.主要工作如下:第一章,给出了分数阶微积分的历史简介、分数阶微分方程的研究意义以及分数阶微分方程数值解法的国内外研究现状.给出了一些预备知识,包括分数阶导数、Toepliiz矩阵与循环矩阵以及相关定理.第二章,研究了二维的双边空间分数阶对流扩散方程的有限差分解法.结合一些学者所提出的有限差分法的思想,构造出方程在时间和空间上均可以达到二阶精度的加权Crank-NNicolson((CNN)格式,该格式可使离散系统的系数矩阵严格对角占优.接着对格式的解的存在唯一性、稳定性及收敛性进行了分析.最后给出数值算例,验证了格式的有效性、精确性和可靠性.第三章,由于分数阶微分算子的非局部性质,对流扩散方程求解往往产生稠密甚至全系数矩阵.因此,这些方法的数值解往往需要O(N3)计算量和O(N2)存储量,N为网格点的数量.我们采用交替方向迭代法,以达到对二维方程降维的目的,构造出一种二维的交替方向加权Crank:-Nicolson(ADI-CN)格式.接着分析了格式稳定性及收敛性.最后给出数值算例,验证了格式的有效性、精确性和可靠性.第四章,研究了二维的双边空间分数阶对流扩散方程的快速的有限迭代方法.快速共轭度平方算法在和加权CNN格式保持相同精度的前提下,通过快速Fourier变换,每次迭代只需O(N)的存储量和O(N log N)的计算量.最后的数值算例验证了快速算法的有效性和精确性.第五章,研究了二维的双边空间分数阶对流扩散方程的快速的有限差分解法.快速算法在和ADI-CNN格式保持相同精度的前提下,通过快速Fourier变换,每个时间步长只需O(N)的存储量和O(Nlog2N)的计算量.最后的数值算例验证了快速算法的有效性和精确性.

关键词：二维双边空间分数阶对流扩散方程移位Grunwald公式快速傅里叶变换共轭梯度平方法 toeplitz和循环矩阵

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双边空间分数阶对流扩散方程的几种数值解法

双边空间分数阶对流扩散方程的几种数值解法

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作者：王朵华南理工大学

学位级别：硕士

分数阶微分方程是从实际问题中抽象出来的一类微分方程.与整数阶相比,分数阶微分方程最重要的优势在于它能更好地模拟某些自然物理现象和动态系统过程,因此在物理、工程、金融、地下水和环境问题中得到了广泛应用.但是,分数阶微分方程... 详细信息

分数阶微分方程是从实际问题中抽象出来的一类微分方程.与整数阶相比,分数阶微分方程最重要的优势在于它能更好地模拟某些自然物理现象和动态系统过程,因此在物理、工程、金融、地下水和环境问题中得到了广泛应用.但是,分数阶微分方程的求解方法不及整数阶微分方程那样完善,还没有比较系统的求解公式,目前对它的研究还处于初级阶段.和整数阶微分方程的情况一样,只有很少类型的分数阶微分方程能够求出解析解.大多数情况下,只能使用数值方法来进行计算.因此,对分数阶微分方程进行数值求解有着十分重要的意义.本文主要研究一维的双边空间分数阶对流扩散方程的数值解法.文中的分数阶导数均指Riemann-Liouville定义下的分数阶导数.主要工作如下：第一章,给出了分数阶微积分的历史简介、分数阶微分方程的研究意义以及分数阶微分方程数值解法的国内外研究现状.第二章,给出了一些预备知识,包括分数阶导数、toeplitz矩阵与循环矩阵以及相关定理.第三章,研究了一维的双边空间分数阶对流扩散方程的有限差分解法.结合一些学者所提出的有限差分法的思想,构造出方程在时间和空间上均可以达到二阶精度的中心加权C-N格式,并对格式的稳定性及收敛性进行了分析.最后给出数值算例,验证了格式的有效性、精确性和可靠性.但该格式无法保证其离散系统的系数矩阵严格对角占优,给计算带来一定的困难.第四章,在中心加权C-N格式的基础上进行改进,提出了一种时间和空间上均可以达到二阶精度的新型加权C-N格式,该格式可使离散系统的系数矩阵严格对角占优.接着分析了格式的解的存在唯一性、稳定性及收敛性.最后给出数值算例，验证了格式的有效性、精确性和可靠性.第五章,研究了一维的双边空间分数阶对流扩散方程的快速的有限差分解法.快速算法在和中心或新型加权C-N格式保持相同精度的前提下,通过快速Fourier变换,每个时间步长只需O(K)的存储量和O(K log2K)的计算量.最后的数值算例验证了快速算法的有效性和精确性.

关键词：双边空间分数阶对流扩散方程 Riemann-Liouville分数阶导数移位Gr(u|¨)nwald公式快速有限差分法 toeplitz和循环矩阵

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双边空间分数阶常系数对流扩散方程的几种数值解法

双边空间分数阶常系数对流扩散方程的几种数值解法

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作者：王亚力华南理工大学

学位级别：硕士

分数阶微分方程是含有分数阶微分的方程,而分数阶微分算子具有的记忆和遗传性质使得其能更好地模拟某些自然物理现象以及物质的运动变化等复杂过程,因此受到不同科学领域如流体力学、物理学、化学、生物学等领域学者的青睐.但是目前对... 详细信息

分数阶微分方程是含有分数阶微分的方程,而分数阶微分算子具有的记忆和遗传性质使得其能更好地模拟某些自然物理现象以及物质的运动变化等复杂过程,因此受到不同科学领域如流体力学、物理学、化学、生物学等领域学者的青睐.但是目前对分数阶微分方程的研究还处于初级阶段,只有极少数分数阶微分方程能求得解析解.因此研究分数阶微分方程的数值解法意义重大.本文以Riemann-Liouville型一维双边空间分数阶常系数对流扩散方程为研究对象,以求该方程的数值解为研究目标,所做主要工作如下:第一章,简要的介绍了分数阶微积分的历史、分数阶微分方程的研究意义以及国内外研究现状.第二章,给出了一些预备知识,包括分数阶导数的定义、toeplitz矩阵与循环矩阵以及一些常用函数空间和算子.第三章,结合近年来一维双边空间分数阶常系数对流扩散方程研究成果,利用有限差分法构造出在时间和空间上均可达到二阶精度中心加权格式,并分析了格式的稳定性和收敛性.最后给出数值算例,验证了格式的有效性和精确性,并与其它二阶离散格式做了对比.但是中心加权格式无法保证其系数矩阵严格对角占优,这在网格剖分非常细密或空间域较大的情况下,给求解带来一定的困难.第四章,为了改进中心加权格式存在的缺陷,提出了一种新型加权格式.该格式在空间步长与时间步长相等时达到二阶精度,且能保证其系数矩阵严格对角占优.接着分析了格式的解的存在唯一性、稳定性和收敛性.最后给出数值算例,验证了格式的有效性和精确性.第五章,在充分研究了中心加权格式和新型加权格式系数矩阵的结构后,开发出了一维双边空间分数阶常系数对流扩散方程的快速有限差分法.快速算法在保持与原格式相同精度的前提下,通过快速Fourier变换,每个时间步长只需O(M)的存储量和O(M logM)的计算量.最后给出数值算例验证了快速算法的有效性和精确性.

关键词：双边空间分数阶常系数对流扩散方程 Riemann-Liouville分数阶导数移位Grünwald公式快速有限差分法 toeplitz和循环矩阵

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