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A General theta function Identity and Modular Equations

Chinese Quarterly Journal of Mathematics 2015年第2期30卷 211-217页

作者： XUE Lin ZHANG Zhi-zheng College of Mathematics Luoyang Normal University Luoyang 471022 China

In this paper, we establish a general theta function identity. It is a common origin of many theta function identities. From which many classical and new modular equations are derived. All the proofs are elementary.

关键词： theta function jacobian elliptic function modular equations quasi periods pole

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Global Asymptotics of Orthogonal Polynomials Associated with a Generalized Freud Weight

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Chinese Annals of Mathematics,Series B 2018年第3期39卷 553-596页

作者： Zhi-Tao WEN Roderick WONG Shuai-Xia XU Department of Mathematics Taiyuan University of TechnologyTaiyuan 030024China Liu Bie Ju Centre for Mathematical Sciences City University of Hong KongHong KongChina Institut Franco-Chinois de l’Energie Nucleaire Sun Yat-sen UniversityGuangzhou 510275China

In this paper, the authors consider the asymptotic behavior of the monic polynomials orthogonal with respect to the weight function w（x） = /x/2αe-（x4＋tx2）, x ∈R, where α is a constant larger than - 1/2 and t is any real number. They consider this problem in three separate cases：（i） c 〉 -2, （ii） c = -2, and （iii） c 〈 -2, where c ：= tN-1/2 is a constant, N = n ＋ a and n is the degree of the polynomial. In the first two cases, the support of the associated equilibrium measure μ is a single interval, whereas in the third case the support of μt consists of two intervals. In each case, globally uniform asymptotic expansions are obtained in several regions. These regions together cover the whole complex plane. The approach is based on a modified version of the steepest descent method for Riemann-Hilbert problems introduced by Deift and Zhou （1993）.

关键词： Orthogonal polynomials Globally uniform asymptotics Riemann-Hilbertproblems The second Painlev6 transcendent theta function

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