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The Convergence of Krylov Subspace Methods for Large Unsymmetric Linear Systems

Acta Mathematica Sinica,English Series 1998年第4期14卷 507-518页

作者： Jia Zhongxiao, Department of Applied Mathematics, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China Department of Applied Mathematics Dalian University of Technology Dalian China

The convergence problem of many Krylov subspace methods, e.g., FOM, GCR, GMRES and QMR, for solving large unsymmetric (non-Hermitian) linear systems is considered in a unified way when the coefficient matrix A is defective and its spectrum lies in the open right (left) half plane. Related theoretical error bounds are established and some intrinsic relationships between the convergence speed and the spectrum of A are exposed. It is shown that these methods are likely to converge slowly once one of the three cases occurs: A is defective, the distribution of its spectrum is not favorable, or the Jordan basis of A is ill conditioned. In the proof, some properties on the higher order derivatives of chebyshev polynomials in an ellipse in the complex plane are derived, one of which corrects a result that has been used extensively in the literature.

关键词： Unsymmetric linear systems Convergence Krylov subspace the chebyshev polynomials Defective Derivatives

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