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Fixed points of smoothing transformation in random environment

Frontiers of Mathematics in China 2021年第4期16卷 1191-1210页

作者： Xiaoyue ZHANG Wenming HONG School of Statistics Capital University of Economics and BusinessBeijing 100070China School of Mathematical Sciences Laboratory of Mathematics and Complex SystemsBeijing Normal UniversityBeijing 100875China

At each time n∈N,let Y^(n)(ξ)=(y^(n)_(1)(ξ),y^(n)_(2)(ξ),…)be a random sequence of non-negative numbers that are ultimately zero in a random environmentξ=(ξ_(n))n∈*** existence and uniqueness of the non-negative fixed points of the associated smoothing transformation in random environment are *** fixed points are solutions to the distributional equation for a.e.ξ,Z(ξ)=dΣ_(i∈N_(+))y^(0)_(i)(ξ)Z^(1)_(i)(ξ),where{Z^(1)_(i):i∈N_(+)}are random variables in random environment which satisfy that for any environmentξ,under P_(ξ),{Z^(1)_(i)(ξ):i∈N_(+)}are independent of each other and Y^(0)(ξ),and have the same conditional distribution P_(ξ)(Z^(1)_(i)(ξ)∈·)=P_(Tξ)(Z(Tξ)∈·),where T is the shift *** extends the classical results of ***[***.,1977,14:25-37]to the random environment *** an application,the martingale convergence of the branching random walk in random environment is given as well.

关键词： smoothing transformation functional equation branching random walk random environment martingales

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Numerical solution of Volterra integral equations with singularities

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Frontiers of Mathematics in China 2013年第2期8卷 239-259页

作者： Marek KOLK Arvet PEDAS Institute of Mathematics University of Tartu J. Liivi 2 Tartu 50409 Estonia

The numerical solution of linear Volterra integral equations of the second kind is discussed. The kernel of the integral equation may have weak diagonal and boundary singularities. Using suitable smoothing techniques and polynomial splines on mildly graded or of the proposed algorithms is studied given. uniform grids, the convergence behavior and a collection of numerical results is give.

关键词： Boundary singularity collocation method smoothing transformation Volterra integral equation weakly singular kernel

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