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On a problem of Q. H. YANG and Y. G. CHEN

Journal of Mathematical Research with Applications 2022年第6期42卷 580-586页

作者： Xiaohui YAN School of Mathematics and Statistics Anhui Normal University

For any positive integers k1, k2and any set A■N, let Rk1,k2(A, n) be the number of solutions of the equation n = k1a1+ k2a2with a1, a2∈A. Let ■= NA. Yang and Chen proved that if k1and k2are two integers with k2>k1≥2 and(k1, k2) = 1, then there does not exist any set A■N such that Rk1,k2(A, n) = Rk1,k2(■, n) for all sufficiently large integers n. For two integers k>1 and t≥1, define fk(t) to be the number of sets A■N such that R1,k(A, n) = R1,k(■, n) holds for all integers n≥t. Yang and Chen proved that fk(t) is finite and limt→∞log fk(t)/t= log 2. They also asked if it is true that for any integers k, l > 1 there exists t0(k, l) such that fk(t) = fl(t) for all integers t≥t0. In this paper, we give the exact formula of fk(t) when t≤k, which implies that fk(t) = fl(t) for all integers t≤min{k, l}.

关键词： representation function partition sarkozy problem

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