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On the Variation of a Metric and Its Application

Acta Mathematica Sinica,English Series 2010年第10期26卷 2003-2014页

作者： Fa En WU Department of Mathematics School of Science Beijing Jiaotong University Beijing 100044 P. R. China

Some of the variation formulas of a metric were derived in the literatures by using the local coordinates system, In this paper, We give the first and the second variation formulas of the riemannian curvature tensor, Ricci curvature tensor and scalar curvature of a metric by using the moving frame method. We establish a relation between the variation of the volume of a metric and that of a submanifold. We find that the latter is a consequence of the former. Finally we give an application of these formulas to the variations of heat invariants. We prove that a conformally flat metric g is a critical point of the third heat invariant functional for a compact 4-dimensional manifold M, then （M, g） is either scalar flat or a space form.

关键词： riemannian functional variation of a metric volume variation space form heat invariant

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