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Characterization of Almostη-ricci–Yamabe soliton and Gradient Almostη-ricci–Yamabe soliton on Almost Kenmotsu Manifolds

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Acta Mathematica Sinica,English Series 2023年第4期39卷 728-748页

作者： Somnath MONDAL Santu DEY Arindam BHATTACHARYYA Department of Mathematics Jadavpur UniversityKolkata-700032India Department of Mathematics Bidhan Chandra College Asansol-4West Bengal-713304India

The prime object in this article is to study an almostη-ricci-Yamabe soliton and gradient almostη-ricci-Yamabe soliton within the framework of almost Kenmotsu manifolds.It is shown that normal almost Kenmotsu manifold admitting an almostη-ricci-Yamabe soliton or gradientη-ricci-Yamabe soliton is locally isometric to hyperbolic space H^(2n+1)(-1).Next,we prove that if a(κ,μ)almost Kenmotsu manifold admits an almostη-ricci-Yamabe soliton,then the manifold isη-Einstein.Besides,we find the condition for non-normal almost Kenmotsu manifolds acknowledging gradient almostη-ricci-Yamabe soliton.Moreover,an almostη-ricci-Yamabe soliton on(κ,μ)’-almost Kenmotsu manifold has been studied.Lastly,we construct an example of a gradient almostη-ricci-Yamabe soliton on a 3-dimensional Kenmotsu manifold.

关键词： ricci soliton (k μ)-almost Kenmotsu manifold (r μ)-almost Kenmotsu manifold n-ricci-Yamabe soliton

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ricci soliton的几何性质

Ricci Soliton的几何性质

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作者：罗鑫涛清华大学

学位级别：硕士

设M是一个光滑无边的黎曼流形,g是M上的黎曼度量.我们分别用Rm,Ric,S表示黎曼流形M在黎曼度量g下的黎曼曲率张量,Ric曲率和数量曲率.我们称M是一个ricci soliton,如果存在常数ρ∈R及M上的光滑向量场V∈X(M),使得Ric+Lg=ρg,其中,L是李... 详细信息

设M是一个光滑无边的黎曼流形,g是M上的黎曼度量.我们分别用Rm,Ric,S表示黎曼流形M在黎曼度量g下的黎曼曲率张量,Ric曲率和数量曲率.我们称M是一个ricci soliton,如果存在常数ρ∈R及M上的光滑向量场V∈X(M),使得Ric+Lg=ρg,其中,L是李导数(Lie derivative).如果在上式中,V是光滑函数f∈C(M)的梯度向量场,即V=grad f,那么上式可以写作Ric+?f=ρg.此时,我们称M为gradient ricci soliton,对应的函数f称为势函数(potential function).在以上两种情况(ricci solitons和gradient ricci solitons)中,我们根据常数ρ的正负,给出若干术语.当ρ=0时,我们称M是steady(gradient)ricci soliton;当ρ为正数时,称M是shrinking(gradient)ricci soliton;当ρ为负数时,称M是expanding(gradient)ricci soliton.注意到如果我们在定义的式子中,取V=0,或者,取f=0,那么我们得到的黎曼流形M将是爱因斯坦流形(Einstein manifold).从这个角度,ricci soliton是爱因斯坦流形的自然推广.这一概念最初由Richard Hamilton在二十世纪八十年代引入,它可以被视为爱因斯坦度量的自然推广,同时也对应于ricci flow的自相似解.另外,它在ricci flow的奇点分析中具有重要的意义.本文从ricci solitons的定义开始讲起.利用活动标架法,给出了ricci solitons上的基础公式.然后给出一系列ricci solitons上的基础结果,包括数量曲率S的正性,势函数和距离函数的关系,势函数和数量曲率的关系等等.在此基础上,给出了对4维shrinking gradient ricci soliton的曲率估计.如果一个shrinking gradient ricci soliton的数量曲率有上界,那么存在常数c,使得黎曼曲率张量有估计|Rm|≤c S.同时,黎曼曲率算子Rm在无穷远处是渐进非负的,且有下界估计Rm≥-c(log(r+1)),其中r是到一固定点的距离函数.如果数量曲率S在无穷远处趋于0,则有估计S f≤c,这意味着ricci solitons在无穷远处渐进于锥.最后给出一个相对独立的关于紧致shrinking gradient ricci solitons的直径估计结果.本文使用的工具包括活动标架法,极大值原理,第二变分公式等等.

关键词： ricci soliton 曲率估计单射半径

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ricci soliton与一些相关问题的研究

Ricci soliton与一些相关问题的研究

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作者：潘丽娜首都师范大学

学位级别：硕士

本文主要介绍了几何分析中由Hamilton建立的一种重要的几何偏微分方程ricci flow的极限解ricci soliton,这个解是描述流形的一个几何量——度量. 本文分为两部分:第一部分为第一章到第五章,综述了ricci soliton的一些已知结果;第二部分... 详细信息

本文主要介绍了几何分析中由Hamilton建立的一种重要的几何偏微分方程ricci flow的极限解ricci soliton,这个解是描述流形的一个几何量——度量. 本文分为两部分:第一部分为第一章到第五章,综述了ricci soliton的一些已知结果;第二部分为第六章和第七章,在这一部分中我们分别证明了两个结果: 1.Hopf曲面不存在任何的ricci soliton. 2.C上的完备、旋转对称的稳定梯度K(a|¨)hler-ricci soliton的势函数关于距离函数的线性渐进性.

关键词： ricci soliton 自相似解奇点模型 F泛函 Hopf曲面渐进性

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The Isoperimetric Inequality in Steady ricci solitons

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Chinese Annals of Mathematics,Series B 2022年第1期43卷 115-124页

作者： Yuqiao LI Department of Mathematics University of Science and Technology of ChinaHefei 230026China

The author proves that the isoperimetric inequality on the graphic curves over circle or hyperplanes over S^(n-1) is satisfied in the cigar steady soliton and in the Bryant steady soliton.Since both of them are Riemannian manifolds with warped product metric,the author utilize the result of Guan-Li-Wang to get his conclusion.For the sake of the soliton structure,the author believes that the geometric restrictions for manifolds in which the isoperimetric inequality holds are naturally satisfied for steady ricci solitons.

关键词： Isoperimetric inequality ricci soliton

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Steady ricci solitons with horizontally ε-pinched ricci curvature

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Science China Mathematics 2021年第7期64卷 1411-1428页

作者： Yuxing Deng Xiaohua Zhu School of Mathematics and Statistics Beijing Institute of TechnologyBeijing 100081China School of Mathematical Sciences and Beijing International Center for Mathematical Research Peking UniversityBeijing 100871China

In this paper,we prove that anyκ-noncollapsed gradient steady ricci soliton with nonnegative curvature operator and horizontallyκ-pinched ricci curvature must be rotationally symmetric.As an application,we show that anyκ-noncollapsed gradient steady ricci soliton(Mn,g,f)with nonnegative curvature operator must be rotationally symmetric if it admits a unique equilibrium point and its scalar curvature R(x)satisfies lim_(ρ(x)→∞)R(x)f(x)=C_(0)sup_(x∈M)R(x)with C_(0)>n-2/2.

关键词： ricci soliton ricci flow κ-solutions ε-pinched curvature

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