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由Ricci流启发的二次微分方程

中国科学：数学 2016年第5期46卷 523-532页

作者：丁南庆吕鹏南京大学数学系南京210093 Department of Mathematics University of Oregon

利用Uhlenbeck的一个技巧,Ricci流的曲率算子满足一个用正交Lie代数定义的漂亮的演化方程.其实这个方程也可以用任何一个Lie代数来定义.这份简要的综述里讨论了相应的二次微分方程的一些性质.

关键词：二次微分方程曲率算子的演化方程 Ricci流

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沿着Ricci流几何算子的特征值研究

沿着Ricci流几何算子的特征值研究

作者：于均伟扬州大学

学位级别：硕士

近年来对几何算子的特征值研究已经成为研究流形上几何和拓扑的一个非常有力的工具。2002年Perelman在Ricci流的研究中开创性的引入了F熵泛函和W熵泛函,它们在庞卡莱猜想的证明中起到关键作用。这两种泛函的下界和几何算子特征值紧密相... 详细信息

近年来对几何算子的特征值研究已经成为研究流形上几何和拓扑的一个非常有力的工具。2002年Perelman在Ricci流的研究中开创性的引入了F熵泛函和W熵泛函,它们在庞卡莱猜想的证明中起到关键作用。这两种泛函的下界和几何算子特征值紧密相关,对它们的研究激起了众多研究者们关于几何流下几何算子特征值问题的研究兴趣,特别是沿着Ricci流几何算子的特征值的研究。在本文中,我们主要研究与Perelman型F泛函和W泛函相关的几何算子特征值沿着Ricci流和ricci-Bourguignon流的单调性问题。本文的结构安排如下:第一章,给出本文需要用到的一些黎曼几何基本概念和公式,以及Ricci流和ricci-Bourguignon流的一些基本理论。第二章,我们在紧致黎曼流形上考虑Ricci流方程。首先,从Perelman的W泛函定义一个几何算子□,其中□f =-△φf+ aflnf + cRf,并得到它沿着Ricci流的发展方程;其次,考虑Ricci流耦合到一个热方程的系统,得到在这个系统下特征值的发展方程,并证明特征值的单调性;最后,研究规范化Ricci流,得到几何算子□的特征值沿着规范化的Ricci流下的发展方程及单调性。第三章,我们在紧致黎曼流形上考虑ricci-Bourguignon流,这是一个结合Ricci流和Yamabe流的方程。我们分别研究了在ricci-Bourguignon流和规范化ricci-Bourguignon流下几何算子-△ + cR特征值的发展方程和单调性。

关键词： Ricci流 ricci-Bourguignon流几何算子特征值单调性

Gauss曲率具下界的Ricci流(英文)

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中国科学技术大学学报 2011年第5期41卷 377-383页

作者：陈卿严亚军中国科学技术大学数学系安徽合肥230026

证明了一个2维流形上,如果初始Riemann度量的Gauss曲率有下界,则不论度量是否完备,它的Ricci流存在。

关键词： Riemann度量 Gauss曲率 Ricci流

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沿Ricci流的多孔介质方程的梯度估计

沿Ricci流的多孔介质方程的梯度估计

作者：申丽菊中国矿业大学

学位级别：硕士

在1986年,P Li和S.-T. Yau在黎曼流形上,得到了度量固定时,热方程正解的梯度估计.并且在ricci曲率非负的情况下,他们的估计是最优的.后来,R.S.Hamilton得出了紧致黎曼流形上,热方程的仅有空间导数的梯度估计.2009年,B ailesteanu-Cao-Pu... 详细信息

在1986年,P Li和S.-T. Yau在黎曼流形上,得到了度量固定时,热方程正解的梯度估计.并且在ricci曲率非负的情况下,他们的估计是最优的.后来,R.S.Hamilton得出了紧致黎曼流形上,热方程的仅有空间导数的梯度估计.2009年,B ailesteanu-Cao-Pulemotov沿Ricci流对热方程的正解,做出了Li-Yau型和Hamilton型梯度估计.受此启发,本文我们主要研究沿Ricci流的黎曼流形上多孔介质方程正解的Li-Yau型和Hamilton型梯度估计.对于完备非紧的黎曼流形,我们得到局部的Li-Yau型梯度估计;对于紧致的黎曼流形,我们得出整体的Li-Yau型梯度估计.这些估计推广了Bailesteanu-Cao-Pulemotov在[2]中对Ricci流下黎曼流形上热方程的Li-Yau型局部及整体梯度估计和Hamilton型梯度估计.作为多孔介质方程Li-Yau型梯度估计的应用,本文得到了Harnack不等式.

关键词：多孔介质方程 Ricci流梯度估计完备非紧紧致截断函数最大值原理

几何流上的Harnack估计在Ricci流结合调和映射流上的应用

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几何流上的Harnack估计在Ricci流结合调和映射流上的应用

作者：何童童温州大学

学位级别：硕士

几何流上的Harnack不等式也被称为几何流上的Li-Yau-Hamilton不等式,它的发现是几何分析的一个重要的里程碑。首先,抛物方程的Harnack不等式起源于1964年Morse潜心于研究线性散度型方程的工作,并取得了突破性的进展,得到了抛物方程的Har... 详细信息

几何流上的Harnack不等式也被称为几何流上的Li-Yau-Hamilton不等式,它的发现是几何分析的一个重要的里程碑。首先,抛物方程的Harnack不等式起源于1964年Morse潜心于研究线性散度型方程的工作,并取得了突破性的进展,得到了抛物方程的Harnack不等式。李伟光和丘成桐于1986年运用极大值原理获得几何流上热方程的Harnack不等式,这是第一次将几何流和微分方程的Harnack不等式联系起来,具有非常重要的意义。随后,Hamilton同样的方法技巧(极大值原理)获得了几何流上的一些非线性方程的Harnack不等式。近些年,关于几何流上的Harnack不等式的研究也非常多。本文中首先我们在抽象几何流上获得热方程和共轭热方程的Harnack估计,然后根据这个结果我们可以得到不同几何流上的新的Harnack不等式,特别是Ricci流形结合调和映射流上的Harnack不等式。当然我们会就此论文所需要的重要知识进行简单的介绍,并进行论文所需要的必要的研究,得出某些可为论文所用的结论,最后再进行论文内容的核心推导。论文的具体安排如下:第一章概述几何流上的Harnack不等式以及当前的研究现状第二章Ricci流形方程的基本原理第三章热方程上的极大值原则第四章热方程上的Li-Yau估计第五章曲面上c>0时的Harnack估计第六章线性插入Harnack估计第七章矩阵的Harnack估计的证明第八章几何流上的Harnack估计以及在Ricci流形结合调和映射流上的应用。

关键词： Ricci流共轭热方程 Harnack不等式

圆填充的存在唯一性及其组合Ricci流算法

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圆填充的存在唯一性及其组合Ricci流算法

作者：席东盟广西民族大学

学位级别：硕士

圆填充(或圆模式)是指常曲率曲面上一类特定相交圆的集合,其理论涉及双曲三维空问多面体的构造,解析函数的离散逼近和发展离散解析函数等.本文的主要工作包括两个方面：第一,讨论圆填充的Andreev-Thurston定理的能量函数方法证明.给定... 详细信息

圆填充(或圆模式)是指常曲率曲面上一类特定相交圆的集合,其理论涉及双曲三维空问多面体的构造,解析函数的离散逼近和发展离散解析函数等.本文的主要工作包括两个方面：第一,讨论圆填充的Andreev-Thurston定理的能量函数方法证明.给定一个加权三角剖分(T,①)(①∈[0,π/2]),通过构造其内部顶点上的能量函数,得到给定边界半径的关于(T,①)的圆模式是由它的锥向量唯一决定的;基于锥向量所满足的不等式,证明了实现(T,①)的平面单叶圆模式和有分枝圆模式的存在唯一性定理.第二,讨论圆填充的组合Ricci流算法.给定一个有限单纯复形T,我们应用组合Ricci流思想描述实现T的圆填充P的半径的计算方法.我们的迭代过程简单且以指数快速收敛于P的半径.这为求圆填充的半径提供一种新的和有效的算法.

关键词：圆填充能量函数锥向量 Ricci流算法

关于奇数维流形上规范化的Ricci流的一个注记(英文)

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数学研究 2010年第2期43卷 131-134页

作者：黄红北京师范大学数学科学学院数学与复杂系统教育部重点实验室

设（Mn,g0）（n奇数）是紧Riemannian流形,λ（g0）>0,这里λ（g0）是算子-4△g0+R（g0）的第一特征值,R（g0）是（Mn,g0）的数量曲率.设以（Mn,g0）为初值的规范化的Ricci流的极大解g（t）满足|R（g（t））|≤C和∫M|Rm（g（t））|n/2d... 详细信息

关键词： Ricci流无局部塌缩非奇异解

Ricci流与超Ricci流上的Li-Yau-Hamilton Harnack不等式献给余家荣教授100华诞

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中国科学：数学 2019年第11期49卷 1613-1632页

作者：李宋子李向东中国人民大学数学学院北京100872 中国科学院数学与系统科学研究院北京100190 中国科学院大学数学科学学院北京100049

本文对赋予依赖时间变化的加权紧致与完备Riemann流形上的时变Witten Laplace算子的热方程的正解证明Li-Yau-Hamilton型微分Harnack不等式和Harnack不等式.特别地,本文对赋予Ricci流或倒向Ricci流的紧致与完备Riemann流形上的Laplace-Be... 详细信息

本文对赋予依赖时间变化的加权紧致与完备Riemann流形上的时变Witten Laplace算子的热方程的正解证明Li-Yau-Hamilton型微分Harnack不等式和Harnack不等式.特别地,本文对赋予Ricci流或倒向Ricci流的紧致与完备Riemann流形上的Laplace-Beltrami算子的热方程的正解证明Li-Yau-Hamilton型微分Harnack不等式和Harnack不等式.

关键词： Ricci流超Ricci流 Witten Laplace算子热方程 Li-Yau-Hamilton型微分Harnack不等式

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关于非紧流形上的Ricci流的一个注记(英文)

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数学研究 2009年第4期42卷 351-355页

作者：黄红北京师范大学数学科学学院数学与复杂系统教育部重点实验室

设（M3,g0）是非紧三维Riemann流形,其ricci曲率非负,单射半径有正的下界,且当x→∞时数量曲率R（x）→0。则以（M3,g0）为初始值的Ricci流在M3×[0,∞)上有长期解。这推广了马和朱最近的一个结果。在高维情形我们也有相应的结果,并且... 详细信息

设（M3,g0）是非紧三维Riemann流形,其ricci曲率非负,单射半径有正的下界,且当x→∞时数量曲率R（x）→0。则以（M3,g0）为初始值的Ricci流在M3×[0,∞)上有长期解。这推广了马和朱最近的一个结果。在高维情形我们也有相应的结果,并且我们给Chau,Tam和Yu在Khler情形的类似定理一个新的证明。

关键词： Ricci流无局部塌缩定理拟局域定理渐近体积比