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Distribution of primitive λ-roots of Composite Moduli II

Chinese Annals of Mathematics,Series B 2006年第5期27卷 549-552页

作者： Zhiyong ZHENG Todd COCHRANE Department of Mathematical Sciences Tsinghua University Beijing 100084 China Department of Mathematics Kansas State University Manhattan Kansas 66506 USA.

We improve estimates for the distribution of primitive λ-roots of a composite modulus q yielding an asymptotic formula for the number of primitive A-roots in any interval I of length ｜I｜〉〉 q^1/2＋ε Similar results are obtained for the distribution of ordered pairs （x, x^-1） with x a primitive λ-root, and for the number of primitive A-roots satisfying inequalities such as ｜x - x^-1｜≤ B.

关键词： λ-roots primitive roots

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Small Modular Solutions to Fermat’s Last Theorem

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Advances in Pure Mathematics 2024年第10期14卷 797-805页

作者： Thomas Beatty Department of Mathematics Florida Gulf Coast University Fort Myers FL USA

The proof by Andrew Wiles of Fermat’s Last Theorem in 1995 resolved the existence question for non-trivial solutions in integers x,y,zto the equation xn+yn=znfor n>2. There are none. Surprisingly, there are infinitely many solutions if the problem is recast in terms of modular arithmetic. Over a hundred years ago Issai Schur was able to show that for any n there is always a sufficiently large prime p0such that for all primes p≥p0the congruence xn+yn≡zn(modp)has a non-trivial solution. Schur’s argument wasnon-constructive, and there is no systematic method available at present to construct specific examples for small primes. We offer a simple method for constructing all possible solutions to a large class of congruences of this type.

关键词： Fermat’s Last Theorem Modular Arithmetic Congruences Prime Numbers primitive roots Indices Ramsey Theory Schur’s Lemma in Ramsey Theory

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