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本文研究了两类经典生物模型的孤立周期波解的存在性与多重性问题,得到了一些新结果,在理论上这与著名的希尔伯特第十六问题关于极限环的分支数目紧密关联.本文共分为五章.第一章,主要论述了本课题研究的背景与意义,简单介绍了所研究的生物模型与一般研究方法,并说明了本论文在结论与方法上的创新之处.第二章,研究并改进了一类密度依赖和具有Allee效应的单种群反应扩散模型.通过行波变换将此偏微分方程化为平面动力系统,然后基于共轭对称复系统的奇点量算法进行奇点量计算,讨论了该模型对应二维行波系统平衡点的Hopf分支及其中心条件,得到此类情形下每个平衡点至多存在2个极限环的结论,相应的孤立周期波解问题也得到了解决.第三章,在前一章的基础上,通过构造Hamilton系统的扰动形式来研究此类模型的poincaré全局分支,基于Chebyshev准则和Abel积分零点个数的判定方法,发展利用了二元函数符号不变域的判定方法,有效探索和证明了该模型系统在分段连续参数区间内存在且至多存在两个极限环的结论,最后给出了两个大振幅孤立周期波解的存在性以及数值模拟结果与对应的生物学意义.第四章,拓展了一类广义Burgers-Huxley方程并研究了其孤立周期波解的存在性问题,通过构造退化奇点和Hopf分支点的邻域中的李雅普诺夫正定函数,确定了相应平面系统中可能存在的极限环数目,从而得到了拓展模型中相应多重孤立周期波解至少存在的数目.第五章,对研究内容进行总结,并对未来研究课题提出了展望.

关键词：单种群模型广义Burgers-Huxley方程孤立周期波解 Hopf分支 poincaré分支

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一类双参数二次Hamilton系统在多项式扰动下的Abel积分的零点数目

一类双参数二次Hamilton系统在多项式扰动下的Abel积分的零点数目

引用

作者：陈永雪福建师范大学

学位级别：硕士

本论文基于代数—几何思想，以Picard-Fuchs方程为工具，用***和***的研究方法，结合了分支理论和定性分析，借助于符号运算系统探讨了一类未扰系统带有两个参数的Hamilton系统在多项式扰动下的poincaré分支．本论文共分五章，主要考... 详细信息

本论文基于代数—几何思想，以Picard-Fuchs方程为工具，用***和***的研究方法，结合了分支理论和定性分析，借助于符号运算系统探讨了一类未扰系统带有两个参数的Hamilton系统在多项式扰动下的poincaré分支．本论文共分五章，主要考虑以下双参数Hamilton系统在多项式扰动下的Abel积分的零点数目。在第一章中，介绍了分支理论的一些知识、弱Hilbert第16问题的提出及其研究情况。在第二章中，分析了系统E(α，β)的奇点性态，研究了系统E(α，β)中奇闭轨的存在条件，考虑了鞍点间的轨线连结，绘出了系统E(α，β)的拓扑相图的分枝图和相应的全局相图。在第三章中，重点考虑了这种未扰系统带有两个参数的Hamilton系统E(α，β)的扰动，由于参数α，β的存在使得其Picard-Fuchs方程相当复杂，我们仅考虑在α-β参数平面上原点邻域内的情形，得出了在α-β参数平面上，在(0，0)的小邻域内，对应的系统在一般二次多项式扰动下的Abel积分的零点个数的上界为2，且在一定条件下还有一个同宿环与一个极限环共存的情形存在;在一般三次多项式扰动下的Abel积分的零点个数不超过4，以及在几类特殊三次多项式扰动下的Abel积分的零点个数的上界(其中包括对文[22]的问题用几何方法重新进行了考虑，得到更小的上界2，而原文的结论是6);在一般n次扰动的Abel积分的零点个数不超过[n/2]+2[(n-1)/2]+2。在第四章中，考虑到系统在二次多项式扰动下的几何意义：若I(h)=∫ integral from n=intr(h) (ax+by+c)dxdy，那么直线l：ax+by+c=0与质心曲线L∶{((?)(h)，(?)(h))|h∈∑}的交点个数就给出了Abel积分I(h)的零点个数，转而对质心曲线的几何性质进行研究，结合了数值分析方法，给出了系统E(α，β)当β=0时质心变化的区域。在第五章中、考虑了一类可积非Hamilton系统的Abel积分的零点。

关键词： Hamilton系统极限环 poincaré分支 Abel积分 Picard—Fuchs方程

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