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几类多项式系统的极限环分支

几类多项式系统的极限环分支

作者：和媛媛山东科技大学

学位级别：硕士

本文利用分支理论和定性分析的方法，借助于计算机等辅助工具对几类多项式系统的极限环分支问题进行了研究。本论文共由五部分组成。第一部分文献综述，介绍了分支理论的发展历史及其现状，并简要叙述了本文的主要工作。第二章讨... 详细信息

本文利用分支理论和定性分析的方法，借助于计算机等辅助工具对几类多项式系统的极限环分支问题进行了研究。本论文共由五部分组成。第一部分文献综述，介绍了分支理论的发展历史及其现状，并简要叙述了本文的主要工作。第二章讨论了具有双同宿轨的三次Hamilton系统在一类2n+1次多项式扰动下的Abel积分零点个数。利用picard-fuchs方程法及Riccati方程研究Abel积分的零点个数上界，得到了其上界的线性估计。第三章讨论了一类带有参数λ的Hamilton系统的极限环分支，通过对系统的Abel积分I(h)的详细研究，得到了系统的极限环分支结构。第四章考虑了一类五次Hamilton扰动系统，运用***及***的方法，得到了高阶Melnikov函数M(h)的表达式。第五章讨论了一类可化为Abel方程的五次多项式系统的极限环的个数，得到此类平面五次多项式系统至多存在两个极限环的充分条件。

关键词： Hamilton系统 Abel积分 Hilbert第16问题 picard-fuchs方程双同宿轨 Melnikov函数

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几类多项式扰动系统的极限环分支

几类多项式扰动系统的极限环分支

作者：齐晓妹山东科技大学

学位级别：硕士

通过确定Abel积分的零点个数上界,进而确定Hamilton向量场在多项式扰动下的极限环个数仍然是当今分支理论研究的热门课题之一。本文主要研究了几类Hamilton扰动系统的Abel积分零点个数及其极限环分支问题。本文共分为四章:第一章是绪论... 详细信息

通过确定Abel积分的零点个数上界,进而确定Hamilton向量场在多项式扰动下的极限环个数仍然是当今分支理论研究的热门课题之一。本文主要研究了几类Hamilton扰动系统的Abel积分零点个数及其极限环分支问题。本文共分为四章:第一章是绪论,主要介绍了分支理论的历史,发展及其现状,并简要介绍了本文的主要工作。第二章研究了一类具有单中心的Hamilton可逆系统的三次多项式扰动,得到其极限环分支个数至多为2。第三章讨论了一类拟可逆的Hamilton系统在四次多项式扰动下的极限环分支个数,得到其最小上界是3,推广了Zhao Yulin[43]的结果。第四章考虑一类带参数Hamilton系统在四次多项式扰动下的极限环分支问题,得到了该系统至多可以产生12个极限环,推广了Zhang Tonghua,Chen Wencheng[38]等人的结果。

关键词： Hilbert第十六问题 Abel积分 Hamilton系统 picard-fuchs方程多项式扰动

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二次多项式系统解的性态研究

二次多项式系统解的性态研究

作者：黄欣欣扬州大学

学位级别：硕士

微分系统的分支理论是常微分方程定性理论的重要研究领域之一,主要研究依赖于参数的向量场的全局轨线拓扑结构随参数变化的规律.就平面向量场的分支理论而言,对于极限环分支的研究已成为人们关注的主要问题.在1900的国际数学家大会上,**... 详细信息

微分系统的分支理论是常微分方程定性理论的重要研究领域之一,主要研究依赖于参数的向量场的全局轨线拓扑结构随参数变化的规律.就平面向量场的分支理论而言,对于极限环分支的研究已成为人们关注的主要问题.在1900的国际数学家大会上,***提出的著名的“23个数学问题”,其中第16个问题,就是是研究对全体n次实多项式Pn(x,y)和Qn(x,y),系统的解的几何性态.上世纪80年代以来这一问题的研究已与分支理论相结合.有许多数学家致力于研究Hilbert第16问题或1977年由V.I. Arnold提出的它的弱化问题.然而,这一问题即使对于二次Hamilton扰动系统仍没解决.弱化的Hilbert第16问题,就是确定Abel积分的零点个数.它将平面Hamilton向量场在多项式扰动下分支出的极限环个数的最小上界归结于相应的Abel积分I(h)在其紧分支∑中孤立零点的个数(计重数)的最小上界.但因为人们对高次方程求解的困难,因此,对Abel积分零点个数的求解举步维艰,所以对弱Hilbert第]6问题的研究仍然是当今的热门课题之一. 本文围绕上述问题展开研究,本文主要研究了两方面内容,主要内容可概括如下：第一部分是在已有的文献基础上,运用picard-fuchs方程法和Riccati方程法研究了一类具有双中心的二次可逆系统在任意n次多项式扰动下的Abel积分的孤立零点个数的上界问题,得到了当n≥4,该系统的Abel积分I(h)的零点个数不超过14n+18,(n≥4). 第二部分运用反射函数理论研究了二次多项式系统为简单系统时所具有的反射函数结构形式,给出了以这样结构函数为反射函数的充分条件,同时也探讨了当二次系统为周期系统时的Poincare映射及其周期解的性态,并给出例子验证结论的正确性. 周期解为解决一些复杂的微分方程问题提供了很好的突破口,因此本文主要运用picard-fuchs与Ricati方程法和反射函数两种方法,研究二次微分系统的周期解的性态,从而进一步探讨微分方程解的性态.

关键词： Abel积分 picard-fuchs方程 Riccati方程反射函数周期解

一类具有8字回路的对称三次Hamilton系统的环性

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一类具有8字回路的对称三次Hamilton系统的环性

作者：王政阳苏州大学

学位级别：硕士

本文主要研究的是具有8字形回路的平面Hamilton系统的多项式扰动问题．具体而言，我们分别给出了相应的Abel积分I（h）零点个数的上界和下界的估计，他们关于扰动的次数n都是线性的．首先，估计下界时，我们得到I（h）在h=0处的渐近展... 详细信息

本文主要研究的是具有8字形回路的平面Hamilton系统的多项式扰动问题．具体而言，我们分别给出了相应的Abel积分I（h）零点个数的上界和下界的估计，他们关于扰动的次数n都是线性的．首先，估计下界时，我们得到I（h）在h=0处的渐近展开式，然后利用隐函数定理，得到的下界估计为5[n+12]5．其次，估计上界时，我们将Abel积分复化，然后在合适的区域内利用辐角原理估计估计Abel积分I（h）的零点个数，得出上界估计为5[n+12]+5.

关键词： Hamilton系统 Abel积分辐角原理 picard-fuchs方程

两类二次可逆系统的极限环和Abel积分研究

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两类二次可逆系统的极限环和Abel积分研究

作者：占园根云南财经大学

学位级别：硕士

迄今为止,Hilbert第16问题依然是非线性微分方程中的最著名且最具挑战性的一个问题。***在1977年提出了该问题的一个弱化形式,之后研究弱化的希尔伯特第16问题成为当今微分方程研究的前沿和热点问题之一。但到目前为止,此问题的大部分... 详细信息

迄今为止,Hilbert第16问题依然是非线性微分方程中的最著名且最具挑战性的一个问题。***在1977年提出了该问题的一个弱化形式,之后研究弱化的希尔伯特第16问题成为当今微分方程研究的前沿和热点问题之一。但到目前为止,此问题的大部分结果还是关于Hamilton系统的,对于可积非Hamilton系统研究较少。近年来可积非Hamilton系统中的可逆系统受到人们的普遍关注,但是由于缺少方法,研究仍然比较困难。基于这样的背景,本文以定性理论为基础,通过两种不同方法分别考虑了当扰动次数不同时的两类二次可逆系统:当扰动多项式项次数为4的时候,首先通过研究该二次可逆系统轨线的有关性态,结合判定函数的有关定义给出了该系统的一个判定函数。再通过对判定函数中相应参数进行适当的赋值得到关于极限环个数的结论。最后运用数值模拟的方法确定了这些极限环的确切位置,进一步验证了得到的结论;当扰动多项式项次数为任意n的时候,通过该系统的Hamilton量进行适当变换,得到有关的picard-fuchs方程和Riccati方程。再寻找picardfuchs方程和Riccati方程之间的关系,最后得到了该系统的Abel积分零点个数的线性估计。研究结果表明:当扰动次数较低的时候可以选择判定函数与数值模拟的方法来得到极限环的个数并确定它们所在的位置;当扰动次数较高的时候运用picardfuchs方程和Riccati方程来研究Abel积分的零点个数上界。本文中得到的结论是一类二次可逆系统在4次多项式扰动的情况下可以产生3个极限环,并且给出了每个极限环经过的确切位置;另一类二次可逆系统在任意n次多项式的扰动下,当n≥3时,Abel积分的零点个数上界为7[n/2]-4。

关键词：二次可逆系统极限环 Abel积分判定函数数值模拟 picard-fuchs方程 Riccati方程

一类三次哈密顿系统在多项式扰动下I(h)零点个数估计

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一类三次哈密顿系统在多项式扰动下I(h)零点个数估计

作者：孙璐天津师范大学

学位级别：硕士

平面Hamilton系统对应的Abel积分的构造、解析性及其零点个数的研究具有深刻的理论意义及广泛的应用背景.这方面的研究与弱化Hilbert第16问题紧密相关.本文利用常微分方程定性理论和分支理论的方法,对一类关于x轴、y轴对称,具有中心奇... 详细信息

平面Hamilton系统对应的Abel积分的构造、解析性及其零点个数的研究具有深刻的理论意义及广泛的应用背景.这方面的研究与弱化Hilbert第16问题紧密相关.本文利用常微分方程定性理论和分支理论的方法,对一类关于x轴、y轴对称,具有中心奇点的三次Hamilton系统(其对应的Hamilton函数为H(x,y)=Ax2+By2+Cx4+Ex2y2+Dy4,其中A,B,C,D,E为常数,且满足AB>0,D≠0,C/A2+D/B2=0.)在一般n次多项式扰动下的分支问题进行了研究. 本文先通过坐标变换,将Hamilton函数转化为H(x,y)=x2+y2-x4+ax2y2+y4,其中a=EB2/A|D|再对扰动系统所对应的Abel积分的代数构造进行了研究,讨论了其解析性并对其零点个数进行了估计.根据参数α的取值,分为两种情况.当α≥-2时,相应的Hamilton系统有一个周期闭轨族Γh1={(x,y)|H(x,y)=h,h∈∑1(?)(0,1/4)]..当α0}本文的主要内容概括如下：第一章介绍了本课题的研究背景、研究进展情况以及本文的主要研究结果. 第二章研究了扰动系统对应的Abel积分在h∈∑1或∑2上的代数构造.I(h)=α(h)I01+β(h)I03+γ(h)I21+δ(h)I23,其中Ii,j(h)=∮Γhxiyjdx,α(h),β(h),γ(h),δ(h)都是关于h的实多项式,且满足degα(h)≤[(n-1)/4](?)p,degβ(h)≤[n-3/4](?)q,degγ(h)≤q,deg δ(h)≤p-1并求出了四个生成元I01,I03,I21,I23满足的picard-fuchs方程.进而推出了I01’,Z’满足的二阶齐次线性微分方程,其中Z=a-2/6(a2+4)I03+a+2/2(a2+4)I21+1/3I23. 第三章通过研究I01’,Z’分别满足的二阶齐次线性微分方程,将I01’,Z’扩展到复平面,从而将I(危)解析延拓到复平面上。I(危)可能不解析的点为h=0,-a/8,-a/a2+4,-1/4,1/4,∞,再对这六个点处的解析性进行分析,为估计扰动系统在h∈∑1或∑2上对应Abel积分零点个数的估计做好了铺垫. 第四章利用数学归纳法给出了I(k+1)(h)(0≤k≤q+1)的代数构造,当七a/a2+4),αq+2(h),δq+2(h)都是关于忍的实多项式,且满足degαq+2(h)≤p+3q+3, degδq+2(h)≤p+3q+2.利用Riccati方程及广义罗尔定理估计出扰动系统在h∈∑1或∑2上对应Abel积分零点个数的上界为σ(α),其中第五章研究了扰动系统所对应的Abel积分在h∈∑3上的代数构造,I(h)=α(h)I01+β(h)I03+γ(h)I21+δ(h)I23+α(h)I11+β(h)I13+γ(h)I31+δ(h)I33,其中α(h),β(h),p-1并给出了生成元I01,I03,I21,I23满足picard-fuchs方程和生成元I11,I13,I31,I33满足的picard-fuchs方程.

关键词：弱Hilbert第16问题 Hamilton系统 Abel积分 picard-fuchs方程广义罗尔定理零点个数上界

扰动的散焦mKdV方程与广义BBM方程的行波解

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扰动的散焦mKdV方程与广义BBM方程的行波解

作者：郭丽娜桂林电子科技大学

学位级别：硕士

本文根据非线性演化方程的行波解与常微分方程的同宿轨道,异宿轨道和周期轨道之间的联系,研究了扰动的散焦mKdV方程与广义BBM方程的行波解的存在性问题.通过行波变换,散焦mKdV方程可以转化为一个四阶椭圆哈密顿函数,函数的拓扑相图属于... 详细信息

本文根据非线性演化方程的行波解与常微分方程的同宿轨道,异宿轨道和周期轨道之间的联系,研究了扰动的散焦mKdV方程与广义BBM方程的行波解的存在性问题.通过行波变换,散焦mKdV方程可以转化为一个四阶椭圆哈密顿函数,函数的拓扑相图属于“两鞍点环”例子,结合奇异摄动理论和Abelian积分分析方法研究了扰动的散焦mKdV方程的扭结波和周期波的存在性.对于广义BBM方程,对应的行波系统的拓扑相图属于退化的“尖圈”例子,结合奇异摄动理论和Abelian积分分析方法研究了扰动的广义BBM方程的孤立波和周期波的存在性.特别是证明了波速关于能量水平的单调性性质.本文总共五章,文章的主要结构安排如下:第一章是绪论,主要介绍非线性偏微分方程的行波解的研究背景,研究现状以及本文主要工作.第二章,主要介绍了本文用到的一些理论知识.第三章,利用几何奇异摄动理论分析扰动的散焦mKdV方程的扭结波、反扭结波和周期行波解的存在性.通过分析扰动的四阶椭圆哈密顿函数的向量场,讨论了对应的相图为“两鞍点环”的类型.进一步,利用picard-fuchs系统分析Abelian积分的比率,证明了行波解的波速是单调递减的,并且得到了其取值范围.最后,考虑到波速和波长的关系的重要性,给出了二者的关系.第四章,利用几何奇异摄动理论分析扰动的广义BBM方程的孤立波和周期行波解的存在性.通过分析扰动的四阶椭圆哈密顿函数的向量场,讨论了对应的相图为“尖圈”的类型.进一步,利用picard-fuchs系统分析Abelian积分的比率,证明了行波解的波速是单调递减的,并且得到了其取值范围.最后,考虑到波速和波长的关系的重要性,给出了二者的关系.

关键词： mKdV方程 BBM方程行波解 picard-fuchs方程 Abelian积分

两类三次Hamilton系统Abel积分零点个数上界的估计

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两类三次Hamilton系统Abel积分零点个数上界的估计

作者：倪克琳天津师范大学

学位级别：硕士

关于平面Hamilton系统所对应的Abel积分的研究有着深刻的理论意义和广泛的应用背景.目前,这方面的研究主要集中在弱Hilbert第16问题上.针对此问题,本文利用常微分方程定性理论和分支理论的方法,对两类三次Hamilton系统所对应的Abel积分... 详细信息

关于平面Hamilton系统所对应的Abel积分的研究有着深刻的理论意义和广泛的应用背景.目前,这方面的研究主要集中在弱Hilbert第16问题上.针对此问题,本文利用常微分方程定性理论和分支理论的方法,对两类三次Hamilton系统所对应的Abel积分的代数结构进行了研究,并对系统所对应的Abel积分的零点个数进行了估计.本文的主要内容概括如下：第一章首先给出了与本文相关的一些预备知识,然后介绍了本课题的研究背景、研究进展情况以及本文的主要工作内容. 第二章给出了一类具有一个中心的三次Hamilton系统所对应的Abel积分零点个数的一个上界.即证明了Hamilton函数H（x,y）=x2±x4+y4所对应Abel积分零点个数的最小上界B（2n+1）=B（2n+2）≤2[n/2]+3[n-1/2]+4. 第三章给出了一类具有两个中心的三次Hamilton系统所对应的Abel积分零点个数的一个上界.即证明了Hamilton函数H（x,y）=-x2+x4+y4所对应Abel积分零点个数的最小上界B1（2n+1）≤8[n/2]+9[n-1/2]+10,B1（2n+2）≤11[n/2]+6[n+1/2],B2（2n+1）=B2（2n+2）≤2[n/2]+3[n-1/2]+6.其中B1（m）,B2（m）分别表示Abel积分I（h）=∮ΓhQ（x,y）dx-P（x,y）dy在∑1=（-1/4,0）,∑2=（0,+∞）内零点个数的上界,m=max{degP（x,y）,deg Q（x,y）}.

关键词：弱Hilbert第16问题 Hamilton系统 Melnikov函数极限环 Abel积分 picard-fuchs方程

PERTURBATIONS OF A KIND OF DEGENERATE QUADRATIC HAMILTONIAN SYSTEM WITH SADDLE-LOOP

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Chinese Annals of Mathematics,Series B 2002年第1期23卷 85-94页

作者： ZHAO YULIN,WU XIAOMING,ZHU SIMING Department of Mathematics. Zhongshan University, Guangzhou 510275. China. E-mail: mcszyl@*** Department of Mathematics Zhongshan University Guangzhou 510275 China

The authors investigate a kind of degenerate quadratic Hamiltonian systems with saddle-loop. Under quadratic perturbations, it is proved that the perturbed system has at most two limit cycles in the finite plane. The ... 详细信息

关键词：摄动退化Hamilton系统鞍点圈偏微分方程 Abel积分极限圈 picard-fuchs方程单调性