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Some Dynamic and Combinatorial Properties of one parameter Families of Unimodal Maps with Monotonicity

Journal of Mathematics and System Science 2013年第6期3卷 301-308页

作者： John Taylor Department of Mathematics and Natural Sciences American University of Ras al Khaimah 999041 UAE

It is known that certain one parameter families of unimodal maps of the interval have a topological universality with regard to their dynamic behavior [ 1, 2]. As a parameter is smoothly increased, a fascinating variety of dynamic behaviors are produced. For some families the behaviors are monotonic in the parameter, while in others they are not [3]. The question is what sort of conditions on a one parameter family will ensure this monotonicity of the behavior with the parameter？ The answer is unknown and will not be given here. What we do instead is to investigate certain geometric-dynamic-combinatorial consequences of assuming that the family has this monotonicity. Specifically, using tools of symbolic dynamics, state space is ＂course grained＂ with a finite alphabet. We decompose a non-invertible map into nonlinear but invertible pieces. From these invertible pieces, we form inverse maps via composition along words. Equations of motion are developed for both forward and inverse orbits （in both the variables of state space and the parameter）, and an equation relating forward and inverse motions at fix-points is exhibited. Finally, we deduce a list of conditions, each of which is equivalent to monotone behavior. one of these conditions states that simple parity characteristics of words correspond to definite dynamics near fixed-points and vice versa.

关键词： one parameter family unimodal map kneading theory connection equation.

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