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带Neumann边界条件的Helmholtz方程柯西问题的一种新的正则化方法

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兰州理工大学学报 2023年第4期49卷 151-156页

作者：余亚辉李振平洛阳理工学院数学与物理教学部河南洛阳471023 西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州730070

考虑矩形域上带Neumann边界条件的Helmholtz方程的柯西问题,该问题是一类严重不适定的偏微分方程反问题,即它的解不连续依赖于输入数据.基于经典的Tikhonov正则化方法利用自设计过滤化子修改核函数的思想,提出一种新的正则化求解方法,... 详细信息

考虑矩形域上带Neumann边界条件的Helmholtz方程的柯西问题,该问题是一类严重不适定的偏微分方程反问题,即它的解不连续依赖于输入数据.基于经典的Tikhonov正则化方法利用自设计过滤化子修改核函数的思想,提出一种新的正则化求解方法,给出该问题基于分离变量的近似解,对正则化参数的先验和后验两种选取规则下精确解与近似解进行误差分析,得到满足收敛性和稳定性的Holder型误差估计.

关键词： Helmholtz方程柯西问题 Neumann边界条件不适定问题正则化后验参数选取

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一类具有Neumann边界条件的抛物p,m-Laplacian方程的爆破结果和整体存在性

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山西大学学报(自然科学版) 2022年第3期45卷 501-510页

作者：丁俊堂庞雯君山西大学数学科学学院

文章利用最大值原理、微分不等式以及一些合适的辅助函数，对一类具有Neumann边界条件的抛物p,m-Laplacian方程的爆破结果和整体存在性进行了研究，得到了爆破时刻的上界以及爆破率和整体解的上估计，最后给出了两个例子来解释我们的结论。

关键词：爆破抛物p,m-Laplacian方程 Neumann边界条件

带Neumann边界条件的时间分数阶积分微分方程的有限差分法

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带Neumann边界条件的时间分数阶积分微分方程的有限差分法

作者：汤晟广东工业大学

学位级别：硕士

近年来,分数阶微分方程在多个领域都有着广泛的应用,对分数阶微分方程进行数值分析已经成为了一个重要的课题.本文提出了一类带有Neumann边界条件的时间分数阶积分微分方程的数值解法.本文分为三章.第一章为绪论,主要介绍分数阶微积分... 详细信息

近年来,分数阶微分方程在多个领域都有着广泛的应用,对分数阶微分方程进行数值分析已经成为了一个重要的课题.本文提出了一类带有Neumann边界条件的时间分数阶积分微分方程的数值解法.本文分为三章.第一章为绪论,主要介绍分数阶微积分的研究背景及意义,和国内外对于分数阶微分方程相关的研究状况.最后简要概述本文所研究的分数阶积分微分方程.第二章介绍了分数阶积分微分方程在一维空间上的紧差分格式.分别对Caputo时间分数阶导数和Riemann-Liouville（R-L）时间分数阶积分进行离散,使其在时间方向上的精度分别达到O（?）和O（?）,t为时间步长.研究的方程的边界条件是Neumann边界条件,在对分数阶积分微分方程直接作用紧算子时,边界上的空间精度会比内部的空间精度少一阶,需要对边界进行处理,才能使得全局空间精度达到四阶.本章在一维空间上建立了方程的紧差分格式并给出相关的稳定性和收敛性证明,最后再通过数值实验加以说明.第三章介绍了分数阶积分微分方程的二维紧差分格式.本章沿用第二章对Caputo时间分数阶导数和R-L时间分数阶积分的离散方法和处理边界的思路,建立了一个交替方向隐式（ADI）有限紧差分格式.建立的紧差分格式的全局空间精度和时间精度分别达到了四阶和min（?）阶,并给出了理论证明.最后在MATLAB上进行数值实验,实验结果验证了理论结果.

关键词：分数阶积分微分方程紧差分格式 Neumann边界条件

带Neumann边界条件的耗散半线性波动方程外问题的生命跨度估计

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数学物理学报（A辑） 2021年第4期41卷 1033-1041页

作者：赵菁蕾兰家诚杨姗姗丽水学院教师教育学院浙江丽水323000 浙江理工大学理学院杭州310018

该文讨论了在零N eumann边界条件下耗散半线性波动方程外问题的生命跨度上界估计,并得到了与R^(n)(n≥1)中小初值柯西问题相同的生命跨度上界估计.与文献[6]中相应的结果相比,在二维情形与带零Dirichlet边界条件的外问题具有不同的生命... 详细信息

该文讨论了在零N eumann边界条件下耗散半线性波动方程外问题的生命跨度上界估计,并得到了与R^(n)(n≥1)中小初值柯西问题相同的生命跨度上界估计.与文献[6]中相应的结果相比,在二维情形与带零Dirichlet边界条件的外问题具有不同的生命跨度估计,与文献[16]中相应的结果相比,则在一维情形(半直线)与带零Dirichlet边界条件的初边值问题具有不同的临界指标.

关键词：生命跨度耗散半线性波动方程 Neumann边界条件外问题

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具有非线性Neumann边界条件的抛物型方程组的爆破问题

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具有非线性Neumann边界条件的抛物型方程组的爆破问题

作者：张小悦太原理工大学

学位级别：硕士

偏微分方程广泛应用于机械力学、物理学、生态学等自然科学领域,现实世界中的大量科学问题均可以用偏微分方程来描述.偏微分方程作为描述科学问题常用的数学模型,对其解的爆破现象的研究可以更好地反映实际生活中稳定与不稳定的状态.抛... 详细信息

偏微分方程广泛应用于机械力学、物理学、生态学等自然科学领域,现实世界中的大量科学问题均可以用偏微分方程来描述.偏微分方程作为描述科学问题常用的数学模型,对其解的爆破现象的研究可以更好地反映实际生活中稳定与不稳定的状态.抛物型偏微分方程是一类典型的偏微分方程,化学动力学过程、生物种群中人口的增长和迁移等问题均可以通过建立抛物型偏微分方程来研究.而其解的爆破也是常见的一种现象,对其爆破问题的研究,可以推动自然科学领域问题的顺利解决.因此无论从理论还是应用上都有很重要的意义.本文主要针对非线性Neumann边界条件下抛物型方程组进行研究,通过构造新的辅助函数、构造上下解等方法,利用最大值定理、微分不等式技巧及Sobolev不等式,得到方程组爆破解存在的充分条件,并进一步对爆破时刻的上下界进行了估计.首先,针对所研究的问题简单地阐述了偏微分方程以及抛物型偏微分方程应用方面的实际背景,进一步说明了研究Neumann边界条件抛物型偏微分方程的意义.之后分析了目前国内外研究现状,最后介绍了本文的主要研究内容.其次,在非线性Neumann边界条件下,借助构造辅助函数的方法以及一阶微分不等式技巧,得到了一类带有交叉项的抛物型方程组爆破时刻的上下界,同时给出爆破发生的充分条件.通过举出相应的例子,证明了所给出的结论的正确性.然后,通过构造方程的上下解以及辅助函数,对一类带有非线性边界流的抛物型偏微分方程组的爆破时刻进行了估计.同时针对此类抛物型方程组的特殊情形,借助散度定理以及H¨older、Young不等式,计算得到其爆破时刻的上下界.最后,研究了一类具有矩阵系数形式的抛物型方程组的爆破问题.考虑到方程组中主方程含有矩阵项系数,构造了全新的辅助函数.另外在不同的放缩方法下,分别估计出爆破时刻的下界.通过对系数的分类讨论,得到了其爆破时刻的上界.

关键词：非线性抛物型方程组 Neumann边界条件解的爆破构造辅助函数法爆破时刻的估计