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monge-ampère方程正则性的一个新的证明方法

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Monge-Ampère方程正则性的一个新的证明方法

作者：吴雅婷华中师范大学

学位级别：硕士

本文中,我们主要研究如下monge-ampère方程:det D2u=f(x,u,▽u),在上,其中Ω(?)Rn是一个有界区域,u:Ω→R是凸函数,f:Q × R × Rn → R+是光滑函数.本文的主要想法是通过Green函数证明monge-ampère方程的内正则性,其方法也适用于复M... 详细信息

本文中,我们主要研究如下monge-ampère方程:det D2u=f(x,u,▽u),在上,其中Ω(?)Rn是一个有界区域,u:Ω→R是凸函数,f:Q × R × Rn → R+是光滑函数.本文的主要想法是通过Green函数证明monge-ampère方程的内正则性,其方法也适用于复monge-ampère方程和k-Hessian方程.在第一节中,我们介绍了问题的研究背景以及本文的主要结论.在第二节中,我们假设sup |D2u(x)|≤Λ.通过对Green函数G和uξξ进行估计,我们得到了关于uξξ的均值不等式.然后我们证明了对于任意光滑的凸的解序列uk,D2uk是一致连续的,因此我们得到u∈C2,α(Ω).在第三节中,对于复monge-ampère方程和k-Hessian方程,我们假设△u≤C.然后用第二节的方法证明结论.

关键词： Green函数 monge-ampère方程内正则性 k-Hessian方程

monge-ampère方程的研究进展及应用

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阴山学刊（自然科学版） 2012年第4期26卷 5-7页

作者：王娟陈波杨金林内蒙古科技大学数理与生物工程学院内蒙古包头014010 内蒙古科技大学信息工程学院内蒙古包头014010

介绍monge-ampère方程的某些历史状况,总结了近年来monge-ampère方程的研究进展及应用。

关键词： monge-ampère方程边界条件初值问题

一类一般形式的抛物型monge-ampère方程

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数学年刊（A辑） 2009年第3期30卷 421-432页

作者：任长宇关晋瑞袁洪君吉林大学数学学院长春130012

对于Caffarelli-Nirenberg-Spruck提出的一种更一般形式的椭圆型monge-ampère算子det(D^2u+σ),讨论与之对应的一种抛物型monge-ampère方程第一初边值问题。在一定的结构性条件下,利用连续性方法证明了其古典解的存在惟一性。

关键词：一般形式完全非线性 monge-ampère方程

在边界附近蜕化的椭圆型monge-ampère方程解的正则性(英文)

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数学进展 2001年第6期30卷 549-556页

作者：保继光北京师范大学数学系

我们证明了在边界附近蜕化的椭圆型Ｍｏｎｇｅ－Ａｍｐèｒｅ方程Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题解的整体Ｃ１，１正则性，并举例说明了我们的结果是最佳的。

关键词： monge-ampère方程正则性椭圆型方程解 Dirichlet问题

一类monge-ampère方程的特征值问题

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数学年刊（A辑） 2007年第3期28卷 347-358页

作者：王伟叶复旦大学数学科学学院上海200433

对一类monge-ampère方程的特征值问题进行了研究．通过移动平面法证明了在凸对称区域内,Dirichlet问题的C^2凹(凸)解一定是对称的．进而通过对常微分方程和椭圆形偏微分方程的讨论,得到一类n维单位球上特征值问题的非平凡解的存在性和... 详细信息

对一类monge-ampère方程的特征值问题进行了研究．通过移动平面法证明了在凸对称区域内,Dirichlet问题的C^2凹(凸)解一定是对称的．进而通过对常微分方程和椭圆形偏微分方程的讨论,得到一类n维单位球上特征值问题的非平凡解的存在性和正则性结果．

关键词： monge-ampère方程特征值椭圆型方程移动平面法

一类一般形式抛物型monge-ampère方程的第三初边值问题

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吉林大学学报（理学版） 2011年第4期49卷 587-593页

作者：任长宇陈默李志军吉林大学数学学院长春130012

将连续性方法与先验估计相结合,给出并证明了一类一般形式的抛物型monge-ampère方程-Dtudet(D2u+σ(x,t))=f(x,t)第三初边值问题古典解的存在唯一性.

关键词：抛物型完全非线性 monge-ampère方程第三初边值问题

一类抛物型monge-ampère方程具Neumann边界条件的初边值问题

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山东大学学报（理学版） 2010年第6期45卷 70-73页

作者：王娟刘辉昭内蒙古科技大学数理与生物工程学院内蒙古包头014010 河北工业大学理学院天津300130

证明了一类抛物型monge-ampère方程具Neumann边界条件的初边值问题的古典解的存在惟一性。用比较原理证明了该问题至多存在一个古典解。在一定条件下,通过构造辅助函数和闸函数,得到严格凸解的先验估计结果,进而利用连续性方法得到了... 详细信息

证明了一类抛物型monge-ampère方程具Neumann边界条件的初边值问题的古典解的存在惟一性。用比较原理证明了该问题至多存在一个古典解。在一定条件下,通过构造辅助函数和闸函数,得到严格凸解的先验估计结果,进而利用连续性方法得到了该问题严格凸解的存在性。

关键词： monge-ampère方程 Neumann边界条件先验估计

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几何中的monge-ampère方程

几何中的Monge-Ampère方程

作者：舒童厦门大学

学位级别：硕士

monge-ampère方程是一类重要的二阶完全非线性偏微分方程,主要起源于古典几何中的Weyl问题,Minkowski问题和Kahler几何中的Calabi猜想.实monge-ampère方程与最优运输问题,几何光学,共形几何以及仿射几何等联系紧密,复monge-ampère方... 详细信息

monge-ampère方程是一类重要的二阶完全非线性偏微分方程,主要起源于古典几何中的Weyl问题,Minkowski问题和Kahler几何中的Calabi猜想.实monge-ampère方程与最优运输问题,几何光学,共形几何以及仿射几何等联系紧密,复monge-ampère方程主要应用于复几何分析领域.本文主要考虑Riemannian流形(M,g)上具有如下形式的实monge-ampère方程:det((?)2u + χ)=φ det g,(1)其中χ是(0,2)型张量.类似地,可定义Hermitian流形(M,ω)上的复monge-ampère方程,这两类方程都是完全非线性方程,主要考虑(1)和(2)是椭圆方程的情形,求解一般是采用经典的连续性方法,关键是得到解的C2,α估计,由Evans-Krylov定理,只需要建立解的C0,C1,C2估计.文章大致分为两部分,第一部分介绍古典几何问题中的实monge-ampère方程,并推导出几类经典问题(等距嵌入,预定Gauss曲率,最优运输问题,Minkowski问题)相应的monge-ampère方程,它们的形式都符合方程(1).第二部分介绍复monge-ampère方程,重点介绍了 Yau的求解过程,求解关键在于零阶估计,一阶估计和二阶估计可被零阶估计控制,借助Evans-Krylov定理和Schauder估计,利用连续性方法证明解的存在性.

关键词： monge-ampère方程预定Gauss曲率 Minkowski问题 Calabi猜想连续性方法

一类奇异monge-ampère方程Dirichlet问题解的存在性和渐近行为

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一类奇异Monge-Ampère方程Dirichlet问题解的存在性和渐近行为

作者：张博烟台大学

学位级别：硕士

本文在新的结构条件下,应用摄动方法以及构造合适上下解的方法,结合比较原理、Karamata正规变化理论和相关渐近性知识,在严格凸的有界光滑区域Ω(?)Rn(n≥2)上,研究了一类奇异monge-ampère方程的Dirichlet问题det D2u=b(x)g(-u)(1+|▽u... 详细信息

本文在新的结构条件下,应用摄动方法以及构造合适上下解的方法,结合比较原理、Karamata正规变化理论和相关渐近性知识,在严格凸的有界光滑区域Ω(?)Rn(n≥2)上,研究了一类奇异monge-ampère方程的Dirichlet问题det D2u=b(x)g(-u)(1+|▽u|2)q/2,umonge-ampère算子,▽u表示u(x)的梯度,b∈C∞(Ω)是正函数,允许其在边界上为零或具有适当的奇性,g ∈ C1((0,∞),(0,∞)),0≤q

关键词： monge-ampère方程 Dirichlet问题凸解全局渐近行为存在性