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中国海洋大学学报（自然科学版） 2018年第2期48卷 120-124页

作者：李长军陈刚强中国海洋大学数学科学学院山东青岛266100

前人研究表明,对有理函数R_λ(z)=z^2+λ/(z^3),当正参数λ充分小时具有6个性质。本文应用临界点临界值理论和Riemann-Hurwitz公式等多种理论,发现对一般的mcmullen函数族R_λ(z)=z^n+λ/(z^m),其中(1/n)+(1/m)<1且λ∈C-mcmullen函数族,当|λ|充... 详细信息

前人研究表明,对有理函数R_λ(z)=z^2+λ/(z^3),当正参数λ充分小时具有6个性质。本文应用临界点临界值理论和Riemann-Hurwitz公式等多种理论,发现对一般的mcmullen函数族R_λ(z)=z^n+λ/(z^m),其中(1/n)+(1/m)mcmullen函数族,当|λ|充分小时同样的6个结论也成立。

关键词： mcmullen函数族 Fatou集 Julia集康托圆

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噪声扰动下广义M-J集的分形几何特征研究

噪声扰动下广义M-J集的分形几何特征研究

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作者：李鹏大连理工大学

学位级别：硕士

1975年,美籍数学家***正式提出了分维和分形的设想,从复解析动力系统f(z)=z2+c在复平面上的几何图形开始研究,开创了分形理论这一新的学科,迅速风靡世界。30多年以来,不同学科、不同领域的科学家们不断参与进来,一步步明确分形的概念、... 详细信息

1975年,美籍数学家***正式提出了分维和分形的设想,从复解析动力系统f(z)=z2+c在复平面上的几何图形开始研究,开创了分形理论这一新的学科,迅速风靡世界。30多年以来,不同学科、不同领域的科学家们不断参与进来,一步步明确分形的概念、完善分形的理论、推广分形的知识、拓展分形的应用,把分形这一来源于自然的数学理论渗透到了社会、生产、生活的方方面面。复解析动力系统f(z)=z2+c在复平面空间上可以迭代生成2类图形,分别是分形理论中最经典的Mandelbrot集和Julia集。本文将噪声扰动引入动力系统,重点研究了M-J集受到几类扰动后的分形特征变化,主要内容如下： (1)受到加性噪声m的扰动：考查复解析动力系统f(z)=zn+c+m在四元数空间内的分形特征。实验结果表明,广义四元数M集受到加性噪声扰动后保持了自身拓扑结构的相对稳定,但整体沿噪声方向发生了位移;广义四元数J集受到加性噪声扰动后在周期性等方面均发生了较为剧烈的变化,空间内任意2个J集都可以通过噪声相互转换。 (2)受到乘性噪声k的扰动：考查复解析动力系统f(z)=k*zn+c在四元数空间内的分形特征。实验结果表明,广义四元数M集受到乘性噪声扰动后,各个周期域之间的相互位置基本保持不变,同时沿噪声方向呈现出缩放、旋转等现象,边界部分出现相互嵌套或分离;广义四元数J集受到乘性噪声扰动后,拓扑结构和周期性均发生变化,但对噪声参数的敏感度却不相同。 (3)受到有理噪声λ/zd的扰动：考查解析动力系统f(z)=zn+λ/zd+c在复平面空间内的分形特征。本文主要讨论了当c=0的情况,此时该动力系统也被称做mcmullen函数,实验结果表明,mcmullen函数族M-J集在原点附近的一个闭合区域内环绕分布,区域内稀疏分布着无数自相似但层级更小的M-J集,分布情况与n值、d值有关;mcmullen函数族Mandelbrot集在不同层级上会发生周期跳跃现象;mcmullen函数族Julia集在Sierpinski曲线形态下,图形内部出现新的Julia集图像。此外,在受到各类扰动的条件下,Mandelbrot集与Julia集仍然保持着图解目录集的映射关系。

关键词： M-J集噪声扰动四元数 mcmullen函数族分形

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一类有理函数族的Julia集的极限

一类有理函数族的Julia集的极限

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作者：朱冠洲复旦大学

学位级别：硕士

本文主要研究一类有理函数族当λ趋向0时,函数族fλ,α的Julia集的动力系统行为.当a=0时,记fλ,0为fλ,此时fλ为著名的mcmullen函数族mcmullen最早在文章[17]中证明了当1／m+1/l<1且参数|λ|充分小时,fλ的Julia集是Cantor环.当1/m+1/l... 详细信息

本文主要研究一类有理函数族当λ趋向0时,函数族fλ,α的Julia集的动力系统行为.当a=0时,记fλ,0为fλ,此时fλ为著名的mcmullen函数族mcmullen最早在文章[17]中证明了当1／m+1/l<1且参数|λ|充分小时,fλ的Julia集是Cantor环.当1/m+1/l≥1时,P. Blanchard和R. Devaney等人在文章[5]中证明了Cantor环的情况不会出现.当λ趋向0时,fλ的Julia集的极限是什么引起了很多学者的注意.在文章[14]中,R. Devaney和A. Garijo证明了当m=l=2时,fλ的Julia集的极限趋向闭单位圆盘,并证明了当1／m+1/l<1时,fλ的Julia集的极限不存在.一个自然的问题,如果考虑对fλ的Julia集作一径向拉伸变换,得到的新的Julia集的极限是什么?本文证明了若对fλ的Julia集作一径向拉伸变换,得到的新的Julia集的极限在Hausdorff拓扑意义下收敛于Cm,l×S1,其中Cm,l是标准的Cantor集且S1=R/Z.当|a|≠0,1时, R. Devaney和S. Marotta在文章[15]中详细的讨论了fλ,。的动力系统.一个自然的问题,当λ趋向0时,fλ,α的Julia集的极限是什么?在本文的第四章,我们证明了当λ趋向0时,fλ,α的Julia集的极限存在.

关键词： mcmullen函数族 Julia集 Fatou分支 Cantor环

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