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The Minkowski norm and Hessian isometry induced by an isoparametric foliation on the unit sphere

Science China Mathematics 2022年第7期65卷 1485-1516页

作者： Ming Xu School of Mathematical Sciences Capital Normal UniversityBeijing 100048China

Let M_(t) be an isoparametric foliation on the unit sphere(S^(n−1)(1),g^(st))with d principal *** the spherical coordinatesinduced by M_(t),we construct a Minkowski norm with the representation F=r√2f(t),which generalizes the notions of(α,β)-norm and(α1,α2)-*** the technique of the spherical local frame,we givean exact and explicit answer to the question when F=r√2 f(t)really defines a Minkowski *** the similar technique,we study the Hessian isometry Φ between two Minkowski norms induced by M_(t),which preservesthe orientation and fixes the spherical ξ-*** aretwo ways to describe this Φ,either by a system of ODEs,or by its restriction toany normal plane for M_(t),which is then reduced to a Hessian isometry between Minkowski norms on R^(2) satisfying certain symmetry and(d)-*** d>2,we prove that this Φ can be obtained by gluing positive scalar multiplications and compositions of the Legendre transformation and positive scalar multiplications,so it must satisfy the(d)-property for any orthogonal decomposition R^(n)=V'+V'',i.e.,for any nonzero x=x'+x'' and Φ(x)=x=x'+x''with x',x'∈V'and x'',x''∈V'',we have g_(x)^(F1)(x'',x)=g_(x)^(F2)x(x'',x).As byproducts,we prove the following *** the indicatrix(S_(F,g)),where F is a Minkowski norm induced by M_(t) and g is the Hessian metric,the foliation N_(t)=S_(F)∩R>_(0)M_(0) is *** conjecture is valid for a Minkowski norm F induced by M_(t),i.e.,if its Hessian metric g is flat on R^(n)\conjecturewith n>2,then F is Euclidean.

关键词： Minkowski norm Hessian isometry Hessian metric isoparametric foliation laugwitz conjecture Legendre transformation

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