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kam理论与Arnol'd扩散:Hamilton系统的动力学稳定性问题

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中国科学（A辑） 2004年第3期34卷 257-267页

作者：程崇庆南京大学数学系南京210093

物理、天文与力学中的许多问题的数学模型归结为Hamilton方程，这种方程由Hamilton量H=H(p，q，t)所决定：dq/dt=δH/δp,dp/dt=-δH/δq,p,q∈R^2n,H一般代表能量，n是系统自由度数，p表示作用量，在许多问题中q表示角变量，本文中也... 详细信息

物理、天文与力学中的许多问题的数学模型归结为Hamilton方程，这种方程由Hamilton量H=H(p，q，t)所决定：dq/dt=δH/δp,dp/dt=-δH/δq,p,q∈R^2n,H一般代表能量，n是系统自由度数，p表示作用量，在许多问题中q表示角变量，本文中也是如此,在这种情形下q∈T^n,经典力学中所研究的Hamilton量关于作用量p往往是凸函数，从Newton创立经典力学体系，并认识到天体运动依从万有引力定律后，动力学稳定性就成为一个使许多数学家着迷而又未能解决的问题。

关键词： kam理论 Hamilton系统 Arnol’d扩散动力学稳定性经典力学

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陀螺仪运动的混沌与kam理论

应用数学学报 2000年第2期23卷 212-220页

作者：胡志兴管克英北京科技大学数力系北京100083 北方交通大学数学系北京100044

本文建立了外环轴水平放置的重力对称陀螺仪的运动方程．将非自由陀螺仪转子的质心位置作为扰动，利用Ｍｅｌｎｉｋｏｖ方法和ＫＡＭ理论研究了陀螺仪的运动．研究结果表明：在陀螺仪转子的质心与支架中心不重合且充分接近时，或陀螺仪... 详细信息

本文建立了外环轴水平放置的重力对称陀螺仪的运动方程．将非自由陀螺仪转子的质心位置作为扰动，利用Ｍｅｌｎｉｋｏｖ方法和ＫＡＭ理论研究了陀螺仪的运动．研究结果表明：在陀螺仪转子的质心与支架中心不重合且充分接近时，或陀螺仪能量充分大时，陀螺仪运动的Ｐｏｉｎｃａｒｅ映射既出现Ｓｍａｌｅ马蹄意义下的混沌，又存在ＫＡＭ不变环面和不变闭曲线．

关键词：重力对称陀螺仪运动导航系统 kam理论

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有限维和无穷维空间上的kam理论

中国科学：数学 2017年第1期47卷 77-96页

作者：尤建功耿建生徐君祥南开大学陈省身数学研究所天津300071 南京大学数学系南京210093 东南大学数学系南京210096

Kolmogorov-Arnold-Moser(kam)理论是20世纪最重要的数学成就之一.近年来,很多数学和物理分支中,如天体力学、凝聚态物理、动力系统、偏微分方程、数学物理和算子谱理论,出现了形形色色与kam相关但经典kam理论不能解决的问题,刺激了kam... 详细信息

Kolmogorov-Arnold-Moser(kam)理论是20世纪最重要的数学成就之一.近年来,很多数学和物理分支中,如天体力学、凝聚态物理、动力系统、偏微分方程、数学物理和算子谱理论,出现了形形色色与kam相关但经典kam理论不能解决的问题,刺激了kam理论和方法的进一步发展.本文对有限维和无穷维kam理论的最新研究成果给出一个简要的综述(并不很全面),内容包括kam理论中的非退化条件、低维不变环面及其有关Hamilton偏微分方程的kam定理.

关键词： kam理论 Hamilton系统不变环面小分母非退化条件 Hamilton偏微分方程

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基于kam理论的频率映射分析

内蒙古大学学报（自然科学版） 2013年第3期44卷 239-243页

作者：张瑞岗杨联贵刘全生内蒙古大学数学科学学院呼和浩特010021

基于Laskar J提出的频率映射分析方法,证明一种较Laskar J情形下精度更高的窗口,Blackman窗口;此窗口在Hunter C的DFT意义下比Hanning窗口精度高,有一定的理论和应用价值.

关键词： kam理论频率映射窗口(权)函数

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复杂单摆的kam理论

华侨大学学报（自然科学版） 2011年第2期32卷 231-234页

作者：梁建莉汤龙坤华侨大学数学科学学院福建泉州362021

建立了一类复杂单摆的运动方程.首先利用一个动量守恒的首次积分将二自由度系统转化为单自由度系统,然后利用kam理论,将重力能量作为小扰动项,研究了复杂单摆的运动规律.研究表明:当重力能量与总能量相比很小时,或者单摆总能量充分大时... 详细信息

建立了一类复杂单摆的运动方程.首先利用一个动量守恒的首次积分将二自由度系统转化为单自由度系统,然后利用kam理论,将重力能量作为小扰动项,研究了复杂单摆的运动规律.研究表明:当重力能量与总能量相比很小时,或者单摆总能量充分大时,复杂单摆的kam不变曲线仍然存在,整个系统做拟周期运动,扰动系统仍然具有无重力系统的运动规律.

关键词：复杂单摆无重力系统 kam理论哈密顿系统

基于kam理论的频率映射分析及广义多项式逼近理论

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基于KAM理论的频率映射分析及广义多项式逼近理论

作者：张瑞岗内蒙古大学

学位级别：硕士

本文工作之一是基于Laskar J提出频率映射分析法(Numerical Analysis of the Fundamental Frequencies,NAFF),证明一种较Laskar J情形下精度更高的窗口,Blackman窗口,此窗口在Hunter C所提出的DFT方法中也比Hanning窗口精度高,具有一定的理论和应用价值;另一工作主要针对保测映射的逼近问题,将广义多项式与Weierstrass多项式逼近定理的Lebesgue多项式进行比较,给出一些逼近结果.全文分为三章. 第一章,主要介绍了经典Hamilton系统、经典kam理论的背景、意义、国内外的研究现状,及本文的主要工作. 第二章,利用Laskar J提出的频率映射分析方法证明了Blackman窗口比Hanning窗口的逼近精度高,及在Hunter C所采用的DFT方法中逼近精度比Hanning窗口精度高的结论. 第三章,考虑保测映射的广义多项式逼近问题,较Lebesgue原来的多项式相比,广义多项式精度较高,不幸的是广义多项式的光滑程度下降.

关键词： kam理论频率映射分析窗口函数帐篷映射广义多项式

基于Floquet理论和kam理论的两类非自治线性系统控制的研究

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基于Floquet理论和KAM理论的两类非自治线性系统控制的研究

作者：王学银江苏大学

学位级别：硕士

非自治线性系统的研究在数学中占有重要地位,在量子力学、材料物理等领域具有广泛的应用。特别地,非自治系统的稳定化问题在物理化学过程、生物、经济、工程等领域也越来越引起人们的关注。本文运用动力系统的约化理论研究两类特殊的非... 详细信息

非自治线性系统的研究在数学中占有重要地位,在量子力学、材料物理等领域具有广泛的应用。特别地,非自治系统的稳定化问题在物理化学过程、生物、经济、工程等领域也越来越引起人们的关注。本文运用动力系统的约化理论研究两类特殊的非自治线性系统的稳定化问题。第一类是n维无限可微的周期系数的系统。这类系统源自卫星姿态控制、直升机的振动衰减,以及晶体的研究等问题。本文首先利用Floquet理论构造出一种含有同样周期的变换,在此变换的作用下,原周期系统被共轭成为一个自治线性系统。然后我们利用这个变换设计出时变的线性反馈控制器。并结合Lyapunov稳定性理论建立让周期系数系统达到渐进稳定的判据,这一判据对于n维系统都成立。最后,我们列举了在群SL(2,R)中三种情形下的数值模拟,分别是双曲型系统,椭圆型系统,以及1维含有周期位势的线性定态Schr?dinger方程,这些数值结果验证了方法的有效性。第二类是2维有限可微的准周期系数的系统。从频率个数的角度看,准周期系统是周期系统的高维推广,这类系统是量子霍尔效应,准晶体的光谱理论,冷原子调控等领域的基础。首先,本文在假设准周期系统可约化的前提下,设计出准周期的时变线性反馈控制器,并结合Lyapunov稳定性理论证明,系统能够在适当的条件下达到渐进稳定。然后,我们证明了一类SL(2,R)的系统的全测度可约性,即对于几乎所有的旋转数,该类系统能够共轭成自治系统。由于准周期系统的可约性不仅依赖于系统本身的结构,而且与底空间频率的数论性质紧密相关,因此本文仅考虑丢番图逼近速度较慢的无理频率。本文的证明思路是把准周期系数看成是常系数的小扰动,并把准周期系数展开成Fourier级数,接着使用kam迭代来通过构造适当的迭代序列,在逐步消除各阶含时系数的同时保留常系数,这样最终就能够获得一个自治系统。本文还对此方法做了进一步的延伸,分别是限制迭代次数、增大扰动,以及高维系统的推广。最后本文构造了一个含有两个频率的准周期系统进行数值仿真,验证本文方法的有效性。

关键词：定量几乎可约性 kam理论 Floquet理论稳定性

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七阶拟线性KdV方程的kam理论

七阶拟线性KdV方程的KAM理论

作者：刘廷廷山东大学

学位级别：硕士

本文证明了七阶拟线性KdV方程的小振幅拟周期解的存在性.关键步骤是在近似解的附近对方程线性化得到的算子进行约化,将其共轭至一个常系数算子加一个足够小的有界余项,这里是应用Kuksin引理来解决的同调方程.本文的具体安排如下:第一章... 详细信息

本文证明了七阶拟线性KdV方程的小振幅拟周期解的存在性.关键步骤是在近似解的附近对方程线性化得到的算子进行约化,将其共轭至一个常系数算子加一个足够小的有界余项,这里是应用Kuksin引理来解决的同调方程.本文的具体安排如下:第一章主要介绍选题背景和研究现状,并提出问题及需要证明的结论.第二章给出一些常用的定义,不等式,引理等,为后面的约化做好准备工作.第三章主要介绍线性算子的具体约化过程,通过变量变换消除线性算子最高阶导数对空间变量和时间变量的依赖,将其约化成最高阶导数是常系数的线性算子,并给出相应的估计.第四章是kam迭代过程,将算子最终约化成一个常系数算子加一个有界余项,并给出解的有关估计.第五章测度估计,利用测度引理估计集合的测度.第六章附录,给出一些引理的证明.

关键词： KdV方程拟周期解拟线性偏微分方程 kam理论

具有混合型分散项的非线性Schr（？）dinger方程的kam理论

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具有混合型分散项的非线性Schr（？）dinger方程的KAM理论

作者：程明吉林大学

学位级别：硕士

本文主要研究无穷维kam理论在具有混合型分散项的Schrodinger方程中的应用.Schrodinger方程是量子力学中的一个基本方程,也是量子力学的一个基本假设.如同牛顿定律在经典力学的地位一样,Schrodinger方程在量子力学里占有中心地位.Schrod... 详细信息

本文主要研究无穷维kam理论在具有混合型分散项的Schrodinger方程中的应用.Schrodinger方程是量子力学中的一个基本方程,也是量子力学的一个基本假设.如同牛顿定律在经典力学的地位一样,Schrodinger方程在量子力学里占有中心地位.Schrodinger方程的周期解和拟周期解的存在性问题是当今数学物理和应用数学领域中热门研究课题之一.长期以来受到国内外众多数学家的关注. 全文安排如下,第一章是引言,从第二章到第五章为论文的主体.在第二章中我们主要研究在Dirichlet边值条件下具有混合型分散项的非线性Schro-dinger方程的谱,通过对谱的分析得到谱的渐近性与分离性,从而得到该方程对应的Hamilton系统,并且化成相应的Birkhoff法形.在第三章中,介绍了所谓的Cantor流形定理并给出了框架性证明.最后在第四章利用Cantor流形定理得到不变环面的存在性.

关键词：混合型分散项的非线性Schr(o|¨)dinger方程 kam理论不变环面拟周期解