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Stochastic Differential Games with Reflection and Related Obstacle Problems for isaacs equations

Acta Mathematicae Applicatae Sinica 2011年第4期27卷 647-678页

作者： Rainer BUCKDAHN Département de Mathématiques Université de Bretagne Occidentale6avenue Victor-le-GorgeuB.P.80929285 Brest cedexFrance Institute for Advanced Study Shangdong UniversityJinan 250100China

In this paper we first investigate zero-sum two-player stochastic differential games with reflection, with the help of theory of Reflected Backward Stochastic Differential equations （RBSDEs）. We will establish the dynamic programming principle for the upper and the lower value functions of this kind of stochastic differential games with reflection in a straightforward way. Then the upper and the lower value functions are proved to be the unique viscosity solutions to the associated upper and the lower Hamilton-Jacobi-Bettman-isaacs equations with obstacles, respectively. The method differs significantly from those used for control problems with reflection, with new techniques developed of interest on its own. Further, we also prove a new estimate for RBSDEs being sharper than that in the paper of E1 Karoui, Kapoudjian, Pardoux, Peng and Quenez （1997）, which turns out to be very useful because it allows us to estimate the LP-distance of the solutions of two different RBSDEs by the p-th power of the distance of the initial values of the driving forward equations. We also show that the unique viscosity solution to the approximating isaacs equation constructed by the penalization method converges to the viscosity solution of the isaacs equation with obstacle.

关键词： stochastic differential games value function reflected backward stochastic differential equations,dynamic programming principle isaacs equations with obstacles viscosity solution

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