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On Asymptotic Behavior for Singularities of the Powers of Mean curvature flow

Chinese Annals of Mathematics,Series B 2009年第1期30卷 51-66页

作者： Weimin ShENG Chao WU Department of Mathematics Zhejiang University Hangzhou 310027 China

Let M^n be a smooth, compact manifold without boundary, and F0 ： M^n→ R^n＋1 a smooth immersion which is convex. The one-parameter families F（·, t）： M^n× [0, T） → R^n＋1 of hypersurfaces Mt^n= F（·,t）（M^n） satisfy an initial value problem dF/dt （·,t） = -h^k（· ,t）v（· ,t）, F（· ,0） = F0（· ）, where h is the mean curvature and u（·,t） is the outer unit normal at F（·, t）, such that -hu = h is the mean curvature vector, and k 〉 0 is a constant. This problem is called h^k-fiow. Such flow will develop singularities after finite time. According to the blow-up rate of the square norm of the second fundamental forms, the authors analyze the structure of the rescaled limit by classifying the singularities as two types, i.e., Type Ⅰ and Type Ⅱ. It is proved that for Type Ⅰ singularity, the limiting hypersurface satisfies an elliptic equation; for Type Ⅱ singularity, the limiting hypersurface must be a translating soliton.

关键词： h^k-curvature flow Type Ⅰ singularities Type Ⅱ singularities

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