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HEAVY BALL FLEXIBLE gmres METHOD FOR NONSYMMETRIC LINEAR SYSTEMS

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Journal of Computational Mathematics 2022年第5期40卷 711-727页

作者： Mei Yang Ren-Cang Li School of Mathematical Sciences Shanghai Jiao Tong UniversityShanghai 200240China Department of Mathematics University of Texas at ArlingtonArlingtonTXUSA

Flexible gmres(Fgmres)is a variant of preconditioned gmres,which changes preconditioners at every Arnoldi step.gmres often has to be restarted in order to save storage and reduce orthogonalization cost in the Arnoldi process.Like restarted gmres,Fgmres may also have to be restarted for the same reason.A major disadvantage of restarting is the loss of convergence speed.In this paper,we present a heavy ball flexible gmres method,aiming to recoup some of the loss in convergence speed in the restarted flexible gmres while keep the benefit of limiting memory usage and controlling orthogonalization cost.Numerical tests often demonstrate superior performance of the proposed heavy ball Fgmres to the restarted Fgmres.

关键词： gmres Flexible gmres Heavy ball gmres Preconditioner Linear system.

A PRODUCT HYBRID gmres ALGORITHM FOR NONSYMMETRIC LINEAR SYSTEMS

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Journal of Computational Mathematics 2005年第1期23卷 83-92页

作者： Bao-jiangZhong DepartmentofMathematics NanjingUniversityofAeronauticsandAstronauticsNanjing210016China

It has been observed that the residual polynomials resulted from successive restarting cycles of gmres(m) may differ from one another meaningfully. In this paper, it is further shown that the polynomials can complement one another harmoniously in reducing the iterative residual. This characterization of gmres(m) is exploited to formulate an efficient hybrid iterative scheme, which can be widely applied to existing hybrid algorithms for solving large nonsymmetric systems of linear equations. In particular, a variant of the hybrid gmres algorithm of Nachtigal, Reichel and Trefethen (1992) is presented. It is described how the new algorithm may offer significant performance improvements over the original one.

关键词： nonsymmetric linear systems iterative methods gmres hybrid harmonic Ritz values residual polynomials

A Note on the Adaptive Simpler Block gmres Method

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Communications on Applied Mathematics and Computation 2019年第3期1卷 435-447页

作者： Qiaohua Liu Lei Yao Aijing Liu Department of Mathematics Shanghai UniversityShanghai 200444China School of Mathematical Sciences Qufu Normal UniversityQufu 273165Shandong ProvinceChina

The adaptive simpler block gmres method was investigated by Zhong et al.(J Comput Appl Math 282:139-156, 2015) where the condition number of the adaptively chosen basis for the Krylov subspace was evaluated. In this paper, the new upper bound for the condition number is investigated. Numerical tests show that the new upper bound is tighter.

关键词： Large-scale nonsymmetric linear system Krylov subspace method Adaptive simpler block gmres Condition number

Some Results on the Range-Restricted gmres Method

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Journal of Applied Mathematics and Physics 2023年第12期11卷 3902-3908页

作者： Yiqin Lin School of Science Hunan University of Science and Engineering Yongzhou China

In this paper we reconsider the range-restricted gmres (RRgmres) method for solving nonsymmetric linear systems. We first review an important result for the usual gmres method. Then we give an example to show that the range-restricted gmres method does not admit such a result. Finally, we give a modified result for the range-restricted gmres method. We point out that the modified version can be used to show that the range-restricted gmres method is also a regularization method for solving linear ill-posed problems.

关键词： Nonsymmetric Linear System Krylov Subspace Method Arnoldi Process gmres RRgmres

A Note on the gmres Method for Linear Discrete Ill-Posed Problems

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Advances in Applied Mathematics and Mechanics 2009年第6期1卷 816-829页

作者： Nao Kuroiwa Takashi Nodera Graduate School of Science and Technology Keio University3-14-1HiyoshiKohokuYokohamaKanagawaJapan Department of Mathematics Faculty of Science and TechnologyKeio University3-14-1HiyoshiKohokuYokohamaKanagawaJapan

In this paper,we are presenting a proposal for new modified algorithms for RRgmres and Agmres.It is known that RRgmres and Agmres are viable methods for solving linear discrete ill-posed problems.In this paper we have focused on the residual norm and have come-up with two improvements where successive updates and the stabilization of decreases for the residual norm improve performance respectively.Our numerical experiments confirm that our improved algorithms are effective for linear discrete ill-posed problems.

关键词： Numerical computation gmres iterative method linear discrete ill-posed problem

电路仿真中大规模稀疏系统的gmres方法预条件应用研究

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电路仿真中大规模稀疏系统的GMRES方法预条件应用研究

作者：高蓓山东大学

学位级别：硕士

大规模集成电路的设计和分析都依赖于电子设计自动化(Electronic Design Automat-ion,EDA)技术,需要通过数值模拟方法对电子电路进行仿真。电路系统数值模拟本质上是求解线性方程组Ax=b,其中A为非对称的大规模稀疏矩阵,b是已知向量,x是... 详细信息

大规模集成电路的设计和分析都依赖于电子设计自动化(Electronic Design Automat-ion,EDA)技术,需要通过数值模拟方法对电子电路进行仿真。电路系统数值模拟本质上是求解线性方程组Ax=b,其中A为非对称的大规模稀疏矩阵,b是已知向量,x是待求解向量。在如今的科学与工程计算任务中,线性方程组的未知量个数越来越多,导致计算需求越来越大,使得线性方程组(特别是系数矩阵为大型稀疏矩阵的方程组)的快速求解变得至关重要。一般来说,直接法求解方程组所需要的运算次数为O(n3)(n为系数矩阵A的维数),但该方法不可避免地需要耗费巨量的存储资源和计算资源,同时也可能会导致系数矩阵的结构遭到破坏。此外,若n的数值过大,直接法的计算效率将显著降低。与直接法不同,迭代法是逐步逼近线性方程组的解,其求解稀疏线性方程组所需的计算量相对较小。此外,迭代法的程序设计简单,并能够有效地利用矩阵的稀疏性来节省内存,因此在解决大规模问题时,通常采用迭代法。与直接法相比,合适的迭代解法计算量更小,且误差更可控,有望较大幅度地提高大规模稀疏矩阵方程组求解的计算效率,在复杂电路仿真的加速问题上有重要的工程应用价值。gmres(Generalize Minimal Residuals,广义最小残差法)方法是求解大型稀疏非对称方程组极为有效的迭代法之一,该方法是利用Krylov子空间的方式近似求解方程组,即通过寻找能够使残差最小的向量来逼近实际解。但是,如果采用gmres方法进行计算,随着迭代次数的增加,计算和存储的需求也随之增加,有时gmres方法可能不会收敛。为了解决这一问题,研究者们在算法方面进行了多项改进和优化,深入探索了 G MRES方法的预处理技术。预处理技术可以使方程组系数矩阵的结构特征改变,从而进一步提升计算效率。因此,本文的关键研究方向在于寻找恰当的预处理方法。本文立足于Krylov子空间方法,尝试研究一些有效的加速策略,旨在提高电路仿真中预处理gmres迭代法的求解速度。电路仿真中现有的求解大规模稀疏系统使用的预处理gmres迭代法收敛性不能很好地满足工程计算需求,针对此弊端,本文提出了预条件重用LU广义最小残差法(RPLUgmres),该方法结合电路矩阵的特点,采用预处理gmres迭代法,将LU分解导出的L、U作为预条件进行重用。首先将预处理gmres迭代法用于求解线性系统问题,再针对预处理gmres迭代法求解过程中的不良问题,利用预条件重用有效提高了算法的收敛速度,减少了矩阵向量乘次数和CPU时间,并对ILU(Incomplete LU)分解做预条件重用的数值稳定性进行了分析,最后在数值实验中验证了 RPLUgmres的有效性。另一方面,针对预处理gmres迭代法初始值设置简单随意的问题,RPLUgmres将初始值设置为预矩阵求解的值,即在t0时刻,对A0进行LU分解,将分解产生的L、U代入下一时刻线性方程组A1x=b1中得LUx=b1并求解,所得解向量作为下一时刻预处理gmres迭代的初始值,并与初始值设置为零的策略进行了对比评估,结果表明RPLUgmres方法初始值设置策略的有效性。本文提出的RPLUgmres方法主要在预条件重用和初始值设置两个方面,较预处理gmres迭代法有较为显著的提升和改进。实验结果表明,本文RPLUgmres方法具有较强的工程实用性,能够在实际电路求解问题中较大幅度地提高计算效率、降低计算成本。

关键词：电路仿真 gmres LU分解预条件重用

一种适用于三维混合网格的gmres加速收敛新方法

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航空学报 2016年第11期37卷 3226-3235页

作者：张健邓有奇李彬张耀冰中国空气动力研究与发展中心计算空气动力研究所绵阳621000

为提高流场计算收敛效率,发展了一套适用于三维混合网格Naiver-Stokes方程求解的并行广义最小残差(gmres)隐式时间推进方法。该方法由科学计算可移植扩展工具包(PETSc)中的Krylov子空间求解器实现,线性方程系统中的系数矩阵直接以显式... 详细信息

为提高流场计算收敛效率,发展了一套适用于三维混合网格Naiver-Stokes方程求解的并行广义最小残差(gmres)隐式时间推进方法。该方法由科学计算可移植扩展工具包(PETSc)中的Krylov子空间求解器实现,线性方程系统中的系数矩阵直接以显式给出以提高算法的稳定性。为进一步提高gmres方法的收敛速度,对非结构网格的序号进行了重排序,使得系数矩阵的非零元素尽量向主对角线靠近。利用所发展的gmres方法,完成了对ONERAM6机翼、AIAA阻力预测会议通用研究模型(CRM)等算例的计算,计算结果与试验结果吻合良好。通过与其他隐式推进方法进行比较,对算法的收敛特性进行了研究。结果表明,所发展的gmres方法计算更加稳定,残差下降速度相对LU-SGS(Lower-Upper Symmetric Gauss-Seidel)方法更快,尤其是气动力系数向着收敛解逼近的速度更加明显,提高了计算效率。

关键词：混合网格收敛效率隐式时间推进方法 gmres PETSc 网格重排序

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基于高阶耗散紧致格式的gmres方法收敛特性研究

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航空学报 2014年第5期35卷 1181-1192页

作者：燕振国刘化勇毛枚良邓小刚朱华君中国空气动力研究与发展中心空气动力学国家重点实验室四川绵阳621000 中国空气动力研究与发展中心计算空气动力研究所四川绵阳621000 国防科学技术大学湖南长沙410073

计算效率较低是当前限制高阶精度计算方法应用的重要因素。为了提高高阶精度混合型耗散紧致格式(HDCS)的计算效率,发展了适合多块对接网格的广义最小残值(gmres)方法,并利用gmres方法开展了HDCS格式的加速收敛研究。首先研究了gmres的... 详细信息

计算效率较低是当前限制高阶精度计算方法应用的重要因素。为了提高高阶精度混合型耗散紧致格式(HDCS)的计算效率,发展了适合多块对接网格的广义最小残值(gmres)方法,并利用gmres方法开展了HDCS格式的加速收敛研究。首先研究了gmres的预处理方法、CFL数和内层迭代步数对HDCS数值模拟收敛特性的影响,计算结果显示:点松弛方法是一种高效的预处理方法;CFL数对计算收敛速度影响较大;gmres方法存在最优的内层迭代步数。利用gmres方法完成了NACA 0012翼型绕流、NLR 7301翼型绕流和DLR-F4翼身组合体绕流的数值模拟,并与其他隐式时间推进方法进行了对比,gmres方法计算更加稳定,并且计算效率相对LU-SGS(Lower-Upper Symmetric Gauss-Seidel)方法可以提高5倍以上。研究结果表明,本文发展的gmres方法在多块对接网格中具有良好的计算稳定性,计算结果的残差可以收敛到更低的量级,并且可以较大幅度地提高高阶精度数值模拟的计算效率。

关键词：隐式时间推进方法数值方法高阶精度格式 HDCS gmres 收敛特性计算效率

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基于混合LU分解预处理gmres的暂态稳定仿真并行算法

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高电压技术 2017年第10期43卷 3419-3426页

作者：豆朋马明刘东廖小兵广东电网有限责任公司广州510623 广东电网有限责任公司电力科学研究院广州510080 中国人民解放军国防信息学院武汉430010 武汉大学电气工程学院武汉430072

经典不完全LU分解(ILU)预处理方法由于固有的前推回代模式而不利于并行化,为此提出了基于混合LU(HLU)分解预处理广义极小残余法(gmres)的电力系统暂态稳定性并行计算方法。该方法在隐式联立求解方法的基础上,结合雅克比矩阵的对角加边形... 详细信息

经典不完全LU分解(ILU)预处理方法由于固有的前推回代模式而不利于并行化,为此提出了基于混合LU(HLU)分解预处理广义极小残余法(gmres)的电力系统暂态稳定性并行计算方法。该方法在隐式联立求解方法的基础上,结合雅克比矩阵的对角加边形式,将雅可比矩阵采取分而治之的策略进行HLU分解预处理,再利用gmres方法并行迭代求解。利用2个不同规模的算例系统,测试结果表明:HLU预处理较经典ILU可以减少一半的迭代次数,结合图形处理器(GPU)并行计算技术,基于HLU预处理gmres的并行算法在系统规模达到上万节点时,可以获得10倍以上的加速比。因此,所提方法是一类收敛性好、并行度高,比较适合于GPU计算的并行算法。

关键词：不完全LU分解混合LU分解 gmres 暂态稳定并行计算 GPU

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