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Spectral square moments of a resonance sum for Maass forms

Frontiers of Mathematics in China 2017年第5期12卷 1183-1200页

作者： Nathan SALAZAR Yangbo YE Department of Mathematics The University of Iowa Iowa City Iowa 52242-1419 USA

Let f be a Maass cusp form for Г0（N） with fourier coefficients 1 k2. λf（n） and Laplace eigenvalue 1/4 ＋k2 For real α≠0 and β 〉 0, consider the sum Sx（f; α,β） = ∑n λf（n）e（αnβ）φ（n/X）, where φ is a smooth function of compact support. We prove bounds for the second spectral moment of Sx （f;α, β）, with the eigenvalue tending towards infinity. When the eigenvalue is sufficiently large, we obtain an average bound for this sum in terms of X. This implies that if f has its eigenvalue beyond X1/2＋ε, the standard resonance main term for Sx（f; ±2√q 1/2）, q ∈Z＋, cannot appear in general. The method is adopted from proofs of subconvexity bounds for Rankin-Selberg L-functions for GL（2） × GL（2）. It contains in particular a proof of an asymptotic expansion of a well-known oscillatory integral with an enlarged range of Kε≤ L≤ K1-ε. The same bounds can be proved in a similar way for holomorphie cusp forms.

关键词： cusp form Maass form fourier coefficient of cusp form Kuznetsovtrace formula resonance sum first derivative test weighted stationary phase

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